Question

已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连结AF、CF．
（1）若AB=3，AD=4，求CF的长；
（2）求证：∠ADB=2∠DAF．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理得出BD的长，以及DE的长，进而求出CF的长；
（2）首先得出△ADF≌△BCF（SAS），进而得出∠DAF=∠FBC=

1

2

∠DBE，再利用平行线的性质得出即可．

解答：解：（1）∵因为四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=4，CD=AB=3，
在RT△ABD中，BD=

AB2+AD2

=

32+42

=5，
∴BE=BD=5CE=BE-BC=1，
∴DE=

CD2+CE2

=

10

，
∵F是DE的中点，
∴CF=

DE

2

=

10

2

；

（2）连接BF．
∵BE=BD，EF=DF，
∴∠DBF=∠EBF，
又∵CF=

1

2

DE=DF，
∴∠DCF=∠FDC，
∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF，
即∠ADF=BCF，
在△ADF和△BCF中，

DF=CF ∠ADF=∠BCF DA=CB

，
∴△ADF≌△BCF（SAS），
∴∠DAF=∠FBC=

1

2

∠DBE，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBE，
∴∠ADB=2∠DAF．

点评：此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出△ADF≌△BCF是解题关键．