Question

【题目】解答
（1）观察与归纳：在如图1所示的平面直角坐标系中，直线l与y轴平行，点A与点B是直线l上的两点（点A在点B的上方）．

①小明发现：若点A坐标为（2，3），点B坐标为（2，﹣4），则AB的长度为；
②小明经过多次取l上的两点后，他归纳出这样的结论：若点A坐标为（t，m），点B坐标为（t，n），当m＞n时，AB的长度可表示为；
（2）如图2，正比例函数y=x与一次函数y=﹣x+6交于点A，点B是y=﹣x+6图象与x轴的交点，点C在第四象限，且OC=5．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P与y轴平行的直线l交线段AB于点Q，交射线OC于R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知当t=4时，直线l恰好经过点C．
①求点A的坐标；
②求OC所在直线的关系式；
③求m关于t的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）7；m﹣n
（2）

解：①解 得 ，

∴A（3，3）；

②∵直线l平行于y轴且当t=4时，直线l恰好过点C，如图2，作CE⊥OB于E，

∴OE=4，

在Rt△OCE中，OC=5，

由勾股定理得：

CE= =3，

∴点C的坐标为：（4，﹣3）；

设OC所在直线的关系式为y=kx，则﹣3=4k，

∴k=﹣ ，

∴OC所在直线的关系式为y=﹣ x；

③由直线y=﹣x+6可知B（6，0），

作AD⊥OB于D，

∵A（3，3），

∴OD=BD=AD=3，

∴∠AOB=45°，OA=AB，

∴∠OAB=90°，∠ABO=45°

当0＜t≤3时，如图2，

∵直线l平行于y轴，

∴∠OPQ=90°，

∴∠OQP=45°，

∴OP=QP，

∵点P的横坐标为t，

∴OP=QP=t，

在Rt△OCE中，

∵tan∠EOC=|k|= ，

∴tan∠POR= = ，

∴PR=OPtan∠POR= t，

∴QR=QP+PR=t+ t= t，

∴m关于t的函数关系式为：m= t；

当3＜t＜6时，如图3，

∵∠BPQ=90°，∠ABO=45°，

∴∠BQP=∠PBQ=45°，

∴BP=QP，

∵点P的横坐标为t，

∴PB=QP=6﹣t，

∵PR∥CE，

∴△BPR∽△BEC，

∴ = ，

∴ = ，

解得：PR=9﹣ t，

∴QR=QP+PR=6﹣t+9﹣ t=15﹣ t，

∴m关于t的函数关系式为：m=15﹣ t；

综上，m关于t的函数关系式为m=

【解析】解：（1）①若点A坐标为（2，3），点B坐标为（2，﹣4），则AB的长度为3﹣（﹣4）=7；②若点A坐标为（t，m），点B坐标为（t，n），当m＞n时，AB的长度可表示为m﹣n；
所以答案是7；m﹣n；
【考点精析】通过灵活运用正比例函数的图象和性质和一次函数的图象和性质，掌握正比函数图直线，经过一定过原点．K正一三负二四，变化趋势记心间．K正左低右边高，同大同小向爬山．K负左高右边低，一大另小下山峦；一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远即可以解答此题．