Question

26、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，DF⊥AB，交AC于E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：∠A=∠F；
（2）△CDE与△FDC是否相似？并给予证明．

Answer 1

分析：（1）由∠ACB=90°，得出∠A+∠B=90°，再根据DF⊥AB，得∠B+∠F=90°，则∠A=∠F；
（2）根据直角三角形的性质得，AD=CD，则∠A=∠DCE，再由外角的性质即可得出∠CED=∠FCD，则△CDE∽△FDC．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，
∵DF⊥AB，∴∠BDF=90°，
即∠B+∠F=90°，
∴∠A=∠F；

（2）∴△CDE∽△FDC，
理由是：∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=CD，
∴∠A=∠DCE，
∵∠DEC=∠A+∠ADE，∠DCF=∠DCE+∠ECF，
∴∠CED=∠FCD，
∴△CDE∽△FDC．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质，解题的关键是找出相似的条件，是基础知识要熟练掌握．