Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=

4

3

，∠ADC=∠DAB=90°，P是腰BC上一个动点（不含点B、C），作PQ⊥AP交CD于点Q．（图1）
（1）求BC的长与梯形ABCD的面积；
（2）当PQ=DQ时，求BP的长；（图2）
（3）设BP=x，CQ=y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

Answer 1

分析：（1）过B作BH⊥CD于H，在Rt△BHC中，根据BH（即AD）的长及∠C的正切值，可求得CH的长，进而可根据勾股定理求得BC的长；得到CH的长，由CD=DH+CH=AB+CH即可得到CD的长，根据梯形的面积公式可求出梯形ABCD的面积；
（2）当PQ=DQ时，连接AQ，易证得△ADQ≌△APQ，则AD=AP=4；过P作PE⊥AB于E，不难得出∠C=∠PBE；可根据∠PBE的正切值，用未知数表示出BE、PE的长，进而在Rt△APE中，由勾股定理求得未知数的值，进而可在Rt△BPE中求出BP的长；
（3）过P作PF⊥D于F，由于∠APQ=90°，易证得△AEP∽△PFQ，根据得到的比例线段即可用x表示出QF的长，进而可在Rt△PFC中，根据∠C的正切值用x表示出CF的长；由CQ=QF+CF即可得到y、x的函数关系式．

解答：解：（1）作BH⊥CD，垂足为H，（1分）
则四边形ABHD为矩形；
∴BH=DA=4，DH=AB=2；（1分）
在Rt△BCH中，tanC=

4

3

，
∴CH=

BH

tanC

=3，（1分）BC=

BH2+CH2

=5；（1分）
又CD=CH+DH=5，
∴S_梯形ABCD=

1

2

(AB+CD)AD=14；（1+1=2分）

（2）连接AQ，
由DQ=PQ，可知△ADQ≌△APQ，AP=AD=4；（1分）
作PE⊥AB交AB的延长线于点E，（1分）
在Rt△BPE中，tan∠PBE=tanC=

4

3

，
令BE=3k，PE=4k．
则在Rt△APE中，AP²=AE²+PE²，（1分）
即4²=（2+3k）²+（4k）²，解得：k=

4 21 -6

25

；（1分）
∴BP=

BE2+PE2

=5k=

4 21 -6

5

；（1分）

（3）作PF⊥CD交CD于点F，
由∠AEF=∠EFD=∠APQ=90°，
可得：△AEP∽△PFQ；
∴

QF

PF

=

EP

AE

，即

QF

4- 4 5 x

=

4 5 x

2+ 3 5 x

，
化简得：QF=

80x-16x2

50+15x

；（1分）
又CF=

3

4

PF=3-

3

5

x，
∴y=CF+FQ=(3-

3

5

x)+

80x-16x2

50+15x

=

-5x2+19x+30

3x+10

；（1分）
定义域为（0＜x＜5）．（1分）

点评：此题考查了梯形的性质、相似三角形与全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识的综合应用能力．