Question

已知：抛物线y=ax²+4ax+t与x轴交于点A、B两点，A（-1，0）．
（1）求抛物线的对称轴及点B的坐标；
（2）设C是抛物线与y轴的交点，△ABC的面积为3，求此抛物线的表达式；
（3）若D是第二象限内到x轴、y轴距离的比为5：2的点，且点D在（2）中的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点E，使DE与EA的差最大？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵x=-=-2，
∴抛物线的对称轴是直线x=-2，
设点B的坐标为（x，0），
则=-2，解得x=-3，
∴B的坐标（-3，0）；

（2）∵A（-1，0），B（-3，0），
∴AB=2，
∵S_△ABC=AB•OC=3，
∴×2•OC=3，
∴OC=3，
∴点C的坐标为（0，3）或（0，-3）．
①如果点C的坐标为（0，3）时，
将C（0，3），A（-1，0）代入y=ax²+4ax+t，
得，解得，
∴此抛物线的表达式为y=x²+4x+3；
②如果点C的坐标为（0，-3）时，
将C（0，-3），A（-1，0）代入y=ax²+4ax+t，
得，解得，
∴此抛物线的表达式为y=-x²-4x-3；

（3）设D点坐标为（-2t，5t），则t＞0．
①如果（2）中的抛物线为y=x²+4x+3时，
将D（-2t，5t）代入，得5t=4t²-8t+3，
整理，得4t²-13t+3=0，
解得t₁=3，t₂=，
∴D点坐标为（-6，15）或（-，）．
如图，当D点坐标为（-6，15）时，连接DB交抛物线y=x²+4x+3的对称轴于点E，连接AE，则DE-EA=DE-EB=BD最大．
设直线DB的解析式为y=mx+n，
将D（-6，15），B（-3，0）代入，
得，解得，
∴y=-5x-15，
当x=-2时，y=-5，
∴点E的坐标为（-2，-5）；
当D点坐标为（-，）时，连接DA交抛物线y=x²+4x+3的对称轴于点E，则DE-EA=AD最大．
同理，运用待定系数法求出直线AD的解析式为y=x+，
当x=-2时，y=-，
∴点E的坐标为（-2，-）；
②如果（2）中的抛物线为y=-x²-4x-3时，
将D（-2t，5t）代入，得5t=-4t²+8t-3，
整理，得4t²-3t+3=0，
∵△=9-4×4×3=-39＜0，
∴t无实数根，即点D不存在．
综上可知，所求点E的坐标为（-2，-5）或（-2，-）．
分析：（1）抛物线的对称轴为x=-，由此可求出抛物线的对称轴方程，由于A、B两点关于抛物线的对称轴对称，因此可根据A点的坐标求出B点的坐标；
（2）先由AB=2，S_△ABC=AB•OC=3，得出OC=3，则点C的坐标为（0，3）或（0，-3），再分两种情况进行讨论：①点C的坐标为（0，3）；②点C的坐标为（0，-3）．都可以将C，A两点的坐标代入y=ax²+4ax+t，运用待定系数法即可求出此抛物线的表达式；
（3）先由D是第二象限内到x轴、y轴距离的比为5：2的点，可设D点坐标为（-2t，5t），则t＞0，根据点D在（2）中的抛物线上，分两种情况进行讨论：①（2）中的抛物线为y=x²+4x+3，先将D（-2t，5t）代入，得5t=4t²-8t+3，解方程求出t₁=3，t₂=，则D点坐标为（-6，15）或（-，）．再分两种情况，当D点坐标为（-6，15）时，由于A、D在对称轴两侧，连接D与A的对称点B，交抛物线y=x²+4x+3的对称轴于点E，连接AE，则此时DE-EA最大．运用待定系数法求出直线DB的解析式，再将x=-2代入，求出y的值，得到点E的坐标；当D点坐标为（-，）时，由于A、D在对称轴同侧，直接连接DA交抛物线y=x²+4x+3的对称轴于点E，则此时DE-EA最大．同上，可求出点E的坐标；②（2）中的抛物线为y=-x²-4x-3时，将D（-2t，5t）代入，整理后方程为4t²-3t+3=0，由于△＜0，得出点D不存在．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平面直角坐标系中点的坐标特征，轴对称的性质，直线较强，有一定难度．由于数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．