Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，tan∠B=，点P在BC边上，且BP=3．以点P为中心，将△ABC中按逆时针方向旋转90°至△A′B′C′，A′C′与AC、BC分别交于点R、Q，B′C′与AC、BC分别交于点S、P．
求：（1）线段 PC′的长；
（2）线段RS的长．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，tan∠B=，
∴AC=3×=4，
BC===5，
∵BP=3，
∴PC=BC-BP=5-3=2，
∵△ABC按逆时针方向旋转90°得到△A′B′C′，
∴PC′=PC=2；

（2）由题意可知∠SPC=90°，
∴∠PSC=∠B，
在Rt△SPC中，∠SPC=90°，tan∠PSC=，PC=2
∴SP=2÷=，
∴SC===，
∴SC′=PC′-SP=，
∵∠RSC′=∠PSC，∠C′=∠C，
∴△RSC′∽△PSC，
∴=，
即=，
解得RS=．
分析：（1）根据∠B的正切值求出AC的长，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据PC=BC-BP计算求出PC，再根据旋转的性质PC′=PC；
（2）先求出∠PSC=∠B，然后解直角三角形求出SP，利用勾股定理列式求出SC，从而求出SC′，再求出△RSC′和△PSC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
点评：本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，以及解直角三角形，熟记性质并准确识图是解题的关键．