Question

10．已知正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD上的点，连接AE，BF相交于点H，且AE⊥BF．
（1）如图1，连接AC交BF于点G，求证：∠AGF=∠AEB+45°；
（2）如图2，延长BF到点M，连接MC，若∠BMC=45°，求证：AH+BH=BM；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点H为BM的三等分点，连接BD，DM，若HE=1，求△BDM的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到∠ACB=∠ACD=45°，根据余角 的性质得到∠AEB=∠BFC，于是得到结论；
（2）过C作CK⊥BM于K，得到∠BKC=90°，推出四边形ABCD是正方形，根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，得到∠ABH=∠BCK，在△ABH根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）过E作EN⊥CK于N，得到四边形HENK是矩形，根据矩形的性质得到HK=EN=BH，∠BHE=∠NEC，根据全等三角形的性质得到HE=CN=NK=1，求得CK=BH=2，得到BM=6，连接CH，根据全等三角形的性质得到BH=DM=2，∠BHC=∠DMC=135°．求得∠DMB=90°，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∵AE⊥BF，
∴∠AEB+∠FBC=90°，
∵∠FBC+∠BFC=90°
∴∠AEB=∠BFC，
∵∠AGF=∠BFC+∠ACF，
∴∠AGF=∠AEB+45°；

（2）解：过C作CK⊥BM于K，
∴∠BKC=90°，
∵∠BMC=45°，
∴CK=MK，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABH=∠BCK，
在△ABH与△BCK中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABH=∠BCK}\\{∠AHB=∠BKC=90°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△BCK，
∴BH=CK=MK，AH=BK，
∴BM=BK+MK=AH+BH；

（3）解：由（2）得，BH=CK=BH，
∵H为BM的三等分点，
∴BH=HK=KM，
过E作EN⊥CK于N，
∴四边形HENK是矩形，
∴HK=EN=BH，∠BHE=∠NEC，
在△BHE与△ENC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠HBE=∠NEC}\\{BH=EN}\\{∠BHE=∠ENC}\end{array}\right.$，
∴△BHE≌△ENC，
∴HE=CN=NK=1，
∴CK=BH=2，
∴BM=6，
连接CH，
∵HK=MK，CK⊥MH，∠BMC=45°，
∴CH=CM，∠MCH=90°，
∴∠BCH=∠DCM，
在△BHC与△DMC中，$\left\{\begin{array}{l}{CH=CM}\\{∠BCH=∠DCM}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△BHC≌△DMC，
∴BH=DM=2，∠BHC=∠DMC=135°
∴∠DMB=90°，
∴△BDM的面积=6．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．