Question

9．若m为自然数，且4＜m＜40，且方程x²-2（2m-3）x+4m²-14m+8=0的两根均为整数，求m的值．

Answer 1

分析 先用公式法求出方程的解，再根据题意得出2m+1为奇数完全平方数，求出m的值，再把m的值代入进行求解即可．

解答 解：解方程x²-2（2m-3）x+4m²-14m+8=0得：
x=$\frac{2（2m-3）±\sqrt{[-2（2m-3）]^{2}-4×1×（4{m}^{2}-14m+8）}}{2}$=（2m-3）±$\sqrt{2m+1}$，
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴2m+1为完全平方数，
又∵m为自然数，且4＜m＜40，
∴2m+1为奇数完全平方数，
∴2m+1=25或49，
解得：m=12或24，
∴当m=12时，x=24-3±$\sqrt{2×12+1}$=21±5，
∴x=26或16；
当m=24时，x=48-3±$\sqrt{2×24+1}$=45±7，
∴x=52或38．

点评 此题考查了根的判别式和一元二次方程的解法，用到的知识点是公式法解一元二次方程和根的判别式，关键是根据题意得出2m+1为奇数完全平方数．