Question

18．已知抛物线y=-x²+2（m+1）x+m+1与x轴交于A，B两点，且点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，OA长为a，OB长为b．
（1）求m的取值范围；
（2）若a：b=3：1，求m的值，并求出此时抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，则二次函数与x轴的两个交点的横坐标的积小于0，根据根与系数的关系即可求解；
（2）设OA=3n，则OB=n，即A的坐标是（3n，0），B的坐标是（-n，0），代入函数解析式即可求得m和n的值，则抛物线的解析式即可求解．

解答 解：（1）设A的坐标是（x₁，0），B的坐标是（x₂，0），
则x₁•x₂=-（m+1）＜0，即m+1＞0，
解得：m＞-1，
△=4（m+1）²+4（m+1）＞0一定成立．
总之，m＞-1；
（2）设OA=3n，则OB=n，即A的坐标是（3n，0），B的坐标是（-n，0）．
则$\left\{\begin{array}{l}{3n-n=2（m+1）…①}\\{3n•（-n）=-（m+1）…②}\end{array}\right.$，
由②得m+1=3n²，代入①得2n=6n²，
解得：n=3或0（舍去）．
则m+1=27，
解得：m=26，
把m=26代入代入y=-x²+2（m+1）x+m+1得：y=-x²+54x+27．

点评 本题考查了二次函数与x轴的交点，两个交点的横坐标就是在抛物线中令y=0所得一元二次方程的两个根．利用一元二次方程根与系数的关系即可确定二次函数与x轴的交点的个数以及交点所在的位置．