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如图,已知二次函数y=ax2-2ax+3的图象与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,其顶点为D,直线DC的函数关系式为y=kx+b,又tan∠OBC=1.
(1)求二次函数的解析式和直线DC的函数关系式;
(2)求△ABC的面积.
(1)设x=0,代入y=ax2-2ax+3,则y=3,
∴抛物线和y轴的交点为(0,3)
∵tan∠OBC=1
∴OB=OC=3
∴B(3,0)
将B(3,0)代入y=ax2-2ax+3=9a-6a+3=0,
∴a=-1
∴y=-x2+2x+3
∴y=-(x-1)2+4
∴D(1,4),A(-1,0)
将D(1,4)和C(0,3)分别代入y=kx+b得:
∴k=1,b=3,
∴y=x+3;

(2)S△ABC=
1
2
×4×3=6.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系xOy内,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.把直线y=-x-3沿y轴翻折后恰好经过B、C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,在坐标轴上是否存在这样的点F,使得∠DFB=∠DCB?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

暑假期间,北关中学对网球场进行了翻修,在水平地面点A处新增一网球发射器向空中发射网球,网球飞行线路是一条抛物线(如图所示),在地面上落点为B.有同学在直线AB上点C(靠点B一侧)竖直向上摆放无盖的圆柱形桶,试图让网球落入桶内,已知AB=4m,AC=3m,网球飞行最大高度OM=5m,圆柱形桶的直径为0.5m,高为0.3m(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计),以M点为顶点,抛物线对称轴为y轴,水平地面为x轴建立平面直角坐标系.
(1)请求出抛物线的解析式;
(2)如果竖直摆放5个圆柱形桶时,网球能不能落入桶内?
(3)当竖直摆放圆柱形桶多少个时,网球可以落入桶内?

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知直线y=x与抛物线y=
1
2
x2
交于A、B两点.
(1)求交点A、B的坐标;
(2)记一次函数y=x的函数值为y1,二次函数y=
1
2
x2
的函数值为y2.若y1>y2,求x的取值范围;
(3)在该抛物线上存在几个点,使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形?并求出不少于3个满足条件的点P的坐标.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)与双曲线y=
k
x
相交于点A,B.已知点A的坐标为(1,4),点B在第三象限内,连结AB交y轴于点E,且S△BOE=
2
3
S△AOB(O为坐标原点).
(1)求此抛物线的函数关系式;
(2)过点A作直线平行于x轴交抛物线于另一点C.问在y轴上是否存在点P,使△POC与△OBE相似,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请简要说明理由;
(3)抛物线与x轴的负半轴交于点D,过点B作直线ly轴,点Q在直线l上运动,且点Q的纵坐标为t,试探索:当S△AOB<S△QOD<S△BOC时,求t的取值范围.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点为C,顶点为M,直线CM的解析式y=-x+2并且线段CM的长为2
2

(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线与x轴有两个交点A(x1,0)、B(x2,0),且点A在B的左侧,求线段AB的长;
(3)若以AB为直径作⊙N,请你判断直线CM与⊙N的位置关系,并说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

在△ABC中,∠ACB=90°,点A的坐标为(0,2),点B(-3,1)在抛物线y=ax2+ax-2上,点C在x轴上.
(1)求a的值;
(2)求点C的坐标;
(3)若△ABC是等腰直角三角形
①如图1,将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转β°(0<β<180°)得到△AB′C′,当点C′(2,1)恰好落在该抛物线上,请你通过计算说明点B′也在该抛物线上.
②如图2,设抛物线与y轴的交点为D、P、Q两点同时从D点出发,点P沿折线D→C→B运动到点B,点Q沿抛物线(在第二、三象限的部分)运动到点B,若P、Q两点的运动速度相同,请问谁先到达点B,为什么?

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,抛物线y=
1
2
x2-
3
2
x-9
与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC、AC.
(1)求AB和OC的长;
(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作直线l平行BC,交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,连接CE,求△CDE面积的最大值.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系xOy中,把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角,得到矩形CFED.设FC与AB交于点H,且A(0,4),C(6,0)(如图1).
(1)当α=60°时,△CBD的形状是______;
(2)当AH=HC时,求直线FC的解析式;
(3)当α=90°时,(如图2).请探究:经过点D,且以点B为顶点的抛物线,是否经过矩形CFED的对称中心M,并说明理由.

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