Question

如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N．
①试判断四边形MCNB是什么特殊的四边形，并证明你的结论；
②四边形MCNB能成为正方形吗？若能，请直接给出△ABC应满足的条件；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：如图，在△ABC和△DCB中，
∵
∴△ABC≌△DCB（SSS）．

（2）四边形BMCN是菱形．证明如下：
∵CN∥BD，BN∥AC，
∴四边形BMCN是平行四边形，
由（1）知，△ABC≌△DCB，
则∠MBC=∠MCB，
∴BM=CM，
∴平行四边形BMCN是菱形．

（3）解：四边形MCNB能成为正方形．
△ABC应满足的条件：∠ACB=45°，且∠ABC＞45°，
理由是：∵四边形MCNB是菱形，
∴∠ACB=∠NCB=45°，
∴∠MCN=90°，
∴菱形MCNB是正方形．
分析：（1）根据已知和BC=BC，利用定理SSS推出即可；
（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形，由全等得出∠MBC=∠MCB，推出BM=CM，根据菱形的判定推出即可；
（3）根据菱形的性质求出∠MCB=∠NCB=45°，求出∠MCN=90°，根据正方形的判定推出即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，本题有一定的难度．