Question

4．如图，长方形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．
（1）如图（1），当折痕的另一端F在AB边上且AE=4时，求AF的长
（2）如图（2），当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时，
①求证：EF=EG．
②求AF的长．

Answer 1

分析 （1）根据翻折的性质可得BF=EF，然后用AF表示出EF，在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）①根据翻折的性质可得∠BGF=∠EGF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BGF=∠EFG，从而得到∠EGF=∠EFG，再根据等角对等边证明即可；
②根据翻折的性质可得EG=BG，HE=AB，FH=AF，然后在Rt△EFH中，利用勾股定理列式计算即可得解．

解答 （1）解：如图1，∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴BF=EF，
∵AB=8，
∴EF=8-AF，
在Rt△AEF中，AE²+AF²=EF²，
即4²+AF²=（8-AF）²，
解得AF=3；

（2）如图2，
①证明：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴∠BGF=∠EGF，
∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，
∴∠BGF=∠EFG，
∴∠EGF=∠EFG，
∴EF=EG；

②解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴EG=BG=10，HE=AB=8，FH=AF，
∴EF=EG=10，
在Rt△EFH中，FH=$\sqrt{E{F}^{2}-H{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴AF=FH=6．

点评 本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟记翻折前后两个图形能够重合得到相等的线段和角是解题的关键．