Question

8．如图，在?ABCD（AB＞AD）中，点E在边AB上，以点E为圆心，AE长为半径的⊙E分别交AB、AD于点N、N，与BC所在的直线相切于点G
（1）求证：EG∥MN；
（2）若AB=10，AD与BC之间的距离为6，求⊙E的半径．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质可知∠1=∠2，根据直径所对的圆周角是直角可知∠ANM=90°，根据切线的性质可知∠BGE=90°，根据等角的余角相等可知∠3=∠4，即可证明EG∥MN；
（2）作AH⊥CG延长线于H，易证△BEG∽△BAH，根据对应边成比例得到BE与AE的数量关系，根据AE+EB=AB列方程求出AE即可．

解答 解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠1=∠2，
∵AM是⊙E的直径，
∴∠ANM=90°，
∵BC所在的直线与⊙E相切于点G，
∴∠BGE=90°，
∴∠3=∠4，
∴EG∥MN；
（2）作AH⊥CG延长线于H，
∵∠BGE=90°，
∴△BEG∽△BAH，
∴$\frac{AH}{AB}=\frac{EG}{EB}$，
∵AE=GE，
∴$\frac{AH}{AB}=\frac{AE}{EB}$，
∵AB=10，AH=6，
∴$\frac{AH}{AB}=\frac{AE}{EB}$=$\frac{3}{5}$，
∴BE=$\frac{5}{3}$AE，
∵AE+EB=AB，
∴AE+$\frac{5}{3}$AE=10，
解得：AE=$\frac{15}{4}$，
∴⊙E的半径为$\frac{15}{4}$．

点评 本题主要考查了圆的有关性质、切线的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质的综合运用，辅助线构造相似三角形是解决第2小题的关键．