Question

在三角形ABC的BC边上取点A′，CA边上取点B′，AB边上取点C′．己知∠AC′B′=∠B′A′C，∠CB′A′=∠A′C′B，∠BA′C′=∠C′B′A，求证：A′、B′和C′分别为三边之中点．

Answer 1

证明：由已知，得∠1=∠3，∠2=∠5，∠4=∠6，
又∠1+∠6+∠A=∠3+∠4+∠8=180°，
∴∠8=∠A．
同理，得∠B=∠9，∠C=∠7，
∴∠1+∠7=∠3+∠C=∠6+∠9，
∴四边形AC′A′B′是平行四边形，
∴AC′=A′B′．
同理BC′=A′B′．
则C′是AB边之中点．
同理A′、B′分别为BC、AC边之中点．
分析：根据三角形的内角和定理、平角定义和已知条件可以证明∠A=∠8，∠B=∠9，∠C=∠7，再结合三角形的外角的性质可以证明∠1+∠7=∠6+∠9，再根据对角相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AC′A′B′，平行四边形A′B′C′B，平行四边形A′CB′C′，从而证明A′、B′和C′分别为三边之中点．
点评：此题能够根据三角形的内角和定理及其推论和已知条件证明有关的角相等，再进一步结合平行四边形的判定和性质进行证明．