Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若与抛物线的对称轴交于点，以为圆心，长为半径作圆，与轴的位置关系如何？请说明理由．

（3）过点作的切线，交轴于点，请求出直线的解析式及点坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+4；（2）⊙A与y轴的位置关系是相交，理由见解析；（3）直线GE的表达式为：y＝﹣x+，G（，0）．

【解析】

（1）根据待定系数法，即可求解；

（2）根据待定系数法，求出直线AC的表达式为：y＝x+4，进而求出点E的坐标，可得AE的长，比较AE与AO的大小关系，即可得到结论；

（3）由直线AC的表达式为：y＝x+4，结合AC⊥EG，可得直线EG的表达式为：y＝﹣x+m，结合点E的坐标，可得直线GE的表达式，进而即可求解．

（1）∵抛物线经过点、，

∴设二次函数的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣2）＝a（x2+x﹣6），

把C(0，4)代入得：﹣6a＝4，解得：a＝﹣，

∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+4；

（2）⊙A与y轴的位置关系是相交，理由如下：

设直线AC的解析式为y＝kx+b，

将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，

∴直线AC的表达式为：y＝x+4，

∵抛物线的对称轴为：直线x＝﹣，

∴当x＝﹣时，y＝

∴点E(﹣，)，

∴AE＝＝＞AO，

∴⊙A与y轴的位置关系是相交；

（3）直线AC的表达式为：y＝x+4，

∵是的切线，切点是点E，

∴AC⊥EG，

∴设直线EG的表达式为：y＝﹣x+m，

将点E的坐标代入上式，得＝﹣×(﹣)+m，解得：m＝，

∴直线GE的表达式为：y＝﹣x+，

∵当y＝0时，x＝，

∴点G(，0)．