Question

一只蚂蚁在一块长方体的一个顶点A处，一粒食物在这个长方体上和蚂蚁相对的C₁处（如图），蚂蚁想要沿着长方体的表面爬到C₁处得到食物，有无数条路线，它们有长有短，如果长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，BC=b，CC₁=c，且a＞b＞c，蚂蚁究竟沿怎样的路线爬上去，所经过的距离最短？

Answer 1

分析：将长方体展开，得到三种较短路径，找出三种路径中最短的即可．

解答：解：（1）如图（1），AC₁=

AC2+ CC 2 1

=

(a+b)2+c2

=

a2+b2+c2+2ab

①．

（2）如图（2），AC₁=

AD2+ DC 2 1

=

(a+c)2+b2

=

a2+b2+c2+2ac

②．

（3）如图（3），AC₁=

AB2+ BC 2 1

=

(b+c)2+a2

=

a2+b2+c2+2bc

③．

∵a＞b＞c，
∴2ab＞2ac＞2bc，
∴①＞②＞③．
故蚂蚁沿图三中路线爬上去，所经过的距离最短．

点评：此题结合最短距离问题，考查了“两点只间线段最短”和勾股定理，解答过程要用到分类讨论思想．