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阅读下列材料,并解决后面的问题,在锐角△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,则
(1)过点A作AD⊥BC于D(如图1),
则在Rt△ABD中,AD=
 
;(限用a、b、c、∠A、∠B、∠C中的元素来表示)
在Rt△ACD中,AD=
 

 
=
 

 
=
 

同理最后可得,
 
=
 
=
 

(2)用尺规画△ABC的外接圆⊙O,半径为r(图2),请你另用不同的方法证明以上结论;并写出上述结论与△ABC外接圆直径的关系.
(3)应用:△ABC中,若∠A=30°,∠B=45°,b=
2
,则a=
 
,外接圆半径r=
 

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分析:(1)根据正弦的定义写出,然后再等量代换进行整理;
(2)过点C作直径交⊙O于点D,连接BD,根据同弧所对的圆周角相等可得∠D=∠A,直径所对的圆周角是直角可得∠DBC=90°,在Rt△BDC中表示出sinD,也就是sinA,然后代入
a
sinA
整理即可,同理可证其它两个也成立;
(3)代入上述结论计算即可.
解答:(1)解:AD=c•sinB,
AD=b•sinC,
c•sinB=b•sinC,
b
sinB
=
c
sinC

同理可得:
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC


(2)证明:如图,点C作直径CD交⊙O于点D,连接BD,精英家教网
∴∠A=∠D(同弧所对的圆周角相等),
∠DBC=90°(直径所对的圆周角是直角),
∴sinA=sinD,sinD=
a
2r

a
sinA
=
a
a
2r
=2r,
同理可证:
b
sinB
=2r,
c
sinC
=2r,
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2r;

(3)解:∵
a
sinA
=
b
sinB
,∠A=30°,∠B=45°,b=
2

a
sin30°
=
2
sin45°

解得a=
2
×
1
2
2
2
=1,
b
sinB
=2r,
2
sin45°
=2r,
解得r=1,
故答案为:a=1,r=1.
点评:本题考查了解直角三角形,主要利用了正弦的定义,(2)的证明作出辅助性,构造出以直径为斜边的直角三角形是解题的关键,也是难点,希望同学们要多动脑筋,从题目的条件与结论入手考虑问题.
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相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

精英家教网阅读下列材料,并解决后面的问题.
在锐角△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.过A作AD⊥BC于D(如图),则sinB=
AD
c
,sinC=
AD
b
,即AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,
b
sinB
=
c
sinC
.同理有
c
sinC
=
a
sinA
a
sinA
=
b
sinB

所以
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
…(*)
即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.
(1)在锐角三角形中,若已知三个元素a、b、∠A,运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C,请你按照下列步骤填空,完成求解过程:
第一步:由条件a、b、∠A
用关系式
 
求出
∠B;
第二步:由条件∠A、∠B
用关系式
 
求出
∠C;
第三步:由条件
 
用关系式
 
求出
c.
(2)如图,已知:∠A=60°,∠C=75°,a=6,运用上述结论(*)试求b.

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读下列材料,并解决后面的问题.
在锐角△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.过A作AD⊥BC于D(如图),则sinB=
AD
c
,sinC=
AD
b
,即AD=csi精英家教网nB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,即
b
sinB
=
c
sinC

同理有
c
sinC
=
a
sinA
a
sinA
=
b
sinB

所以
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
…(*)
即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.
(1)在锐角三角形中,若已知三个元素a、b、∠A,运用上述结论(*)和有关定理就可以
求出其余三个未知元素c、∠B、∠C,请你按照下列步骤填空,完成求解过程:
第一步:由条件a、b、∠A
用关系式
 
求出
∠B;
第二步:由条件∠A、∠B.
用关系式
 
求出
∠C;
第三步:由条件.
 
用关系式
 
求出
c.
(2)一货货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上,随后货轮以28.4海里/时的速度按北偏东45°的方向航行,半小时后到达B处,此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°的方向上(如图),求此时货轮距灯塔A的距离AB(结果精确精英家教网到0.1.参考数据:sin40°=0.643,sin65°=0.90 6,sin70°=0.940,sin75°=0.966).

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阅读下列材料,并解决后面给出的问题
例.给定二次函数y=(x-1)2+1,当t≤x≤t+1时,求y的函数值的最小值.
解:函数y=(x-1)2+1,其对称轴方程为x=1,顶点坐标为(1,1),图象开口向上.下面分类讨论:

(1)如图1所示,若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时,即有1<t.此时y随x的增大而增大,当x=t时,函数取得最小值,y最小值=(t-1)2+1
(2)如图2所示,若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时,即有t≤1≤t+1,解这个不等式,即0≤t≤1.此时当x=1时,函数取得最小值,y最小值=1;
(3)如图3所示,若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时,有t+1<1,解不等式即得t<0.此时Y随X的增大而减小,当x=t+1时,函数取得最小值,y最小值=t2+1
综上讨论,当1<t时,函数取得最小值,y最小值=(t-1)2+1
此时当0≤t≤1时,函数取得最小值,y最小值=1.
当t<0时,函数取得最小值,y最小值=t2+1
根据上述材料,完成下列问题:
问题:求函数y=x2+2x+3在t≤x≤t+2时的最小值.

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观察与思考:阅读下列材料,并解决后面的问题
在锐角△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,过A作AD⊥BC于D(如图(1)),则sinB=
AD
c
,sinC=
AD
b
,即AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,即
b
sinB
=
c
sinC
,同理有:
c
sinC
=
a
sinA
a
sinA
=
b
sinB

所以
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC

即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中,若已知三个元素(至少有一条边),运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.
根据上述材料,完成下列各题.

(1)如图(2),△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,BC=60,则∠A=
60°
60°
;AC=
20
6
20
6

(2)自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来,我国政府灵活应对,现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻.某次巡逻中,如图(3),我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上,随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行,半小时后到达B处,此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上,求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB.(结果精确到0.01,
6
≈2.449

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