Question

7．如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4$\sqrt{3}$，∠BAD=60°，且AB＞4$\sqrt{3}$．
（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=6，求AE+AF的值；
（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）过点P作PG⊥EF于G，解直角三角形即可得到结论；
（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，证明△ABC≌△ADC，R_t△PME≌R_t△PNF，问题即可得证；
（3）如图3，当EF⊥AC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，当EF⊥AC，点P在EF的左侧时，AP有最小值解直角三角形即可解决问题．

解答 解：（1）如图1，过点P作PG⊥EF于G，
∵PE=PF，
∴FG=EG=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{3}$，∠FPG=$∠EPG=\frac{1}{2}∠EPF$，
在△FPG中，sin∠FPG=$\frac{FG}{PF}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠FPG=60°，
∴∠EPF=2∠FPG=120°；

（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，DC=BC，
∴∠DAC=∠BAC，
∴PM=PN，
在R_t△PME于R_t△PNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{PM═PN}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴R_t△PME≌R_t△PNF，
∴FN=EM，在R_t△PMA中，∠PMA=90°，∠PAM=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°，
∴AM=AP•cos30°=3$\sqrt{3}$，同理AN=3$\sqrt{3}$，
∴AE+AF=（AM-EM）+（AN+NF）=6$\sqrt{3}$；

（3）如图3，当EF⊥AC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，
当EF⊥AC，点P在EF的左侧时，AP有最小值，
设AC与EF交于点O，
∵PE=PF，
∴OF=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{3}$，
∵∠FPA=60°，
∴OP=2，
∵∠BAD=60°，
∴∠FAO=30°，
∴AO=6，
∴AP=AO+PO=8，
同理AP′=AO-OP=4，
∴AP的最大值是8，最小值是4．

点评 本题考查了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，最值问题，等腰三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．