Question

13．如图，在以AB为直径的半圆中，半径OC=4，且S_扇形AOC：S_扇形BOC=3：5．
（1）求扇形BOC的面积；
（2）在半圆内作另一条半径OD，若S_扇形COD：S_扇形BOC=3：10，求扇形AOD面积．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得到∠AOC：∠BOC=3：5，求得∠BOC=112.5°，即可得到结论；
（2）①当D在$\widehat{AC}$上时，有已知条件得到S_扇形AOC=2S_扇形COD=S_扇形AOD+S_扇形COD，于是得到S_扇形AOD=S_扇形COD=$\frac{1}{2}$S_扇形AOC，求得S_扇形AOC=8π-5π=3π，即可得到结论，②当D在$\widehat{BC}$上时，根据已知条件得到S_扇形COD=$\frac{3}{10}$S_扇形BOC=$\frac{3}{2}$π，于是得到结论．

解答 解：（1）∵S_扇形AOC：S_扇形BOC=3：5，
∴∠AOC：∠BOC=3：5，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=112.5°，
∴扇形BOC的面积=$\frac{112.5•π•{4}^{2}}{360}$=5π；

（2）①当D在$\widehat{AC}$上时，
∵S_扇形COD：S_扇形BOC=3：10，S_扇形AOC：S_扇形BOC=3：5=6：10，
∴S_扇形AOC=2S_扇形COD=S_扇形AOD+S_扇形COD，
∴S_扇形AOD=S_扇形COD=$\frac{1}{2}$S_扇形AOC，
由（1）求得扇形BOC的面积=5π，
∴S_扇形AOC=8π-5π=3π，
∴扇形AOD面积=$\frac{3}{2}$π，
②当D在$\widehat{BC}$上时，∵S_扇形COD：S_扇形BOC=3：10，
∴S_扇形COD=$\frac{3}{10}$S_扇形BOC=$\frac{3}{2}$π，
∴S_扇形AOD=S_扇形AOC+S_扇形COD=3$π+\frac{3}{2}π$=$\frac{9}{2}$π．

点评 本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．