Question

11．已知关于x的一元二次方程（a+c）x²+2bx-（a-c）=0．其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

Answer 1

分析 （1）将x=-1代入原方程可找出b=c，由此可得出△ABC为等腰三角形；
（2）由方程有两个相等的实数根结合根的判别式△=0，可得出a²+b²=c²，由此可得出△ABC为直角三角形；
（3）根据等边三角形的性质可得出原方程为x²+x=0，解之即可得出结论．

解答 解：（1）将x=-1代入原方程得：（a+c）-2b-（a-c）=2c-2b=0，
即b=c，
∴△ABC为等腰三角形．
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴△=（2b）²+4（a+c）（a-c）=4b²+4a²-4c²=0，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC为直角三角形．
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴a=b=c，
∴原方程为x²+x=x（x+1）=0，
解得：x₁=0，x₂=-1．

点评 本题考查了根的判别式、等腰三角形的判定、等边三角形的性质以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）将x=-1代入原方程找出b=c；（2）由根的判别式△=0找出a²+b²=c²；（3）根据等边三角形的性质将原方程变形为x²+x=0．