Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD的长为4，S_梯形ABCD=9，已知点A、B的坐标分别为（1，0）和（2，-3）．
（1）求点C的坐标；
（2）取点E（2，-1），连接DE并延长交AB于F，试猜想DF与AB之间的位置关系，并证明你的结论；
（3）将梯形ABCD绕点A旋转180°后成梯形AB'C'D'，画出梯形AB'C'D'．

Answer 1

解：（1）∵S_梯形ABCD=（BC+AD）×3=（BC+4）×3=9，
∴BC=2，
∴点C的坐标为（4，-3）．

（2）猜想：DF⊥AB．
证明如下：连接BE并延长交x轴于点H．
∵B、E坐标分别为（2，-3）、（2，-1），
∴BH⊥x轴，H（2，0）．
∴AH=HE=1，∠DHE=∠BHA，
DH=BH=3，
∴△DHE≌△BHA，
∴∠HDE=∠HBA．
又∵∠HBA+∠HAB=90°，
∴∠HDE+∠HAB=90°，
∴DF⊥AB．

（3）如图，梯形ABCD绕点A旋转180°后成梯形AB′C′D′．
分析：（1）根据梯形的面积公式可得BC的长，易得点C的坐标；
（2）利用边角边定理可得△DHE≌△BHA，那么∠HDE=∠HBA，进而可得∠HDE+∠HAB=90°，那么DF⊥AB．
（3）分别作出B，C，D三点关于点A的对称点，顺次连接点A，B′，C′，D′即可．
点评：考查有关旋转变换的问题；利用三角形全等得到角相等，判断垂直是解决垂直问题常用的方法．