Question

如图，等边△OAE，边长为2，E在y轴上，O为坐标原点，正方形ABCD，B、C在x轴上．
（1）求经过A、D两点抛物线的对称轴；
（2）是否存在点P，满足点P的纵坐标大于点D的纵坐标，且以A、D、P为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等）？若存在点P，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，当BD所在直线与AE所在直线垂直时，求直线BD的解析式．

Answer 1

分析：（1）本题的关键是求出A、D的坐标，由于三角形OAE是等边三角形，因此直角三角形OAB中，∠AOB=30°，即AB=

1

2

OA=1，OB=

3

，据此可求出A、B两点的坐标，即可得出经过两点的对称轴的解析式
（2）本题有四个符合条件的点P，如图：
①延长OA交CD的延长线于点P，那么此时△PAD∽△AOB，在直角三角形OCP中，可根据OC的长，求出CP的长，即可得出P点坐标，那么P点关于（1）题的对称轴的对称点也符合题意，由此可求出另一个P点的坐标．
②过D作OP的垂线，设垂足为P′，那么△P′AD∽△BOA，在直角三角形APD中，过P′作AD的垂线不难求出P′点坐标，那么同①，P′关于（1）题的对称轴的对称点也符合题意，因此本题共有4个符合条件的P点．
（3）当BD与EA垂直时，有两种情况，如图：
①当BD与线段EA垂直时，那么直角三角形EHF中，∠FEH=60°，因此EF=2EH，EH的值可通过AE-AH求得，AE就是等边三角形的边长，而AH为正方形对角线的一半，据此的求出EF的长，也就求出了OF的长，同理在直角三角形OFN中，可根据OF的长和∠OFN的度数求出ON的长，即可得出F、N的坐标，用待定系数法可求出此时直线BD的解析式．
②当BD予线段EA延长线相交时，解法同①．

解答：解：（1）∵A（

3

，1），D（

3

+1，1），
故对称轴为直线x=

2 3 +1

2

；

（2）P₁（

3

，1+

3

3

），P₂（

3

+1，1+

3

3

），P₃（

3

+

1

4

，1+

3

4

），
P₄（

3

+

3

4

，1+

3

4

）；

（3）当BD与边AE垂直时，
EH=AE-AH=2-

2

2

，
∴EF=2EH=4-

2

，OF=2-

2

，
ON=

2 3 - 6

3

，
则F（0，

2

-2），N（

2 3 - 6

3

，0）
直线BD：y=

3

x+

2

-2
当BD与EA的延长线垂直时，
EK=2+

2

2

，则EG=2EK=4+

2

，
OG=2+

2

，
故直线BD：y=

3

x-

2

-2．

点评：本题考查了正方形和等边三角形的性质、图形的旋转变换等，要注意的是（2）题中，要注意以A、D、P为顶点的三角形与△AOB相似但不包括全等的条件．