Question

3．如图，在△ABC中，AD为内角平分线，∠ADC=60°，点E在AD上，满足DE=DB，射线CE交AB于点F．求证：AF•AB+CD•CB=AC²．

Answer 1

分析 作∠ADG=∠ADC=60°，交AB于G，由三角形全等推导出∠BFC=∠ADC=60°，从而B、D、E、F四点共圆，在AC上取点H，使得CD•CB=CH•CA，则B、D、H、F四点共圆，从而得到D、C、H、E四点共圆，由此能证明AF•AB+CD•CB=AC²．

解答 证明：如图，
，
作∠ADG=∠ADC=60°，交AB于G，则∠BDG=60°，
在△ADG和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAG=∠DAC}\\{DG=DC}\\{∠ADG=∠ADC}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ADC（ASA），
∴DG=DC，
∵DE=DB，∠BDG=∠EDC=60°，
∴△BDG≌△DEC，
∴∠BGD=∠DCE，
∴∠BFC=∠ADC=60°，
∴∠B=∠DEC=∠FEA，
∴B、D、E、F四点共圆，
∴AF•AB=AE•AD，
在AC上取点H，使得CD•CB=CH•CA，
则B、D、H、F四点共圆，
∴∠B=∠CHD，又∠B=∠DEC，
∴∠DEC=∠CHD，
∴D、C、H、E四点共圆，
∴AE•AD=AH•AC，
∵CD•CB=CH•CA=CA•（CA-AH）=CA²-CA•AH，
∴AF•AB+CD•CB=AC²．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，利用四点共圆得出CD•CB=CH•CA是解题关键，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形全等和四点共圆的性质的合理运用．