Question

19．已知：∠MON=70°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D，设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则：
①∠ABO的度数是35°；
②如图2，当∠BAD=∠ABD时，试求x的值（要说明理由）；
（2）如图3，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（自己画图）

Answer 1

分析 （1）①如图1中，根据角平分线的定义以及平行线的性质即可解决问题；
②如图2中，根据∠OAC=∠BAO-∠BAD，想办法求出∠BAO，∠BAD即可；
（2）①当点D在线段OB上时，分三种情形讨论若∠ADB=∠ABD=55°；若∠BAD=∠ABD=55°，则∠OAD=90°-55°=35°，即x=35°，若∠ADB=∠BAD，则∠BAD=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABD）=62.5°，推出∠OAD=90°-62.5°=27.5°，即x=27.5．
②当点D在射线BE上时，由∠ABD=180°-∠ABO=125°，推出∠DAB=∠ADB=27.5°，此时x=27.5+90=117.5则AD与ON不相交，所以舍弃，

解答 解：（1）①如图1中，

∵∠MON=70°，OB平分∠MON，
∴∠BON=$\frac{1}{2}$∠MON=35°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO=∠BON=35°，
故答案为35°．
②如图2中，

∵∠MON=70°，OE平分∠MON，
∴∠NOE=$\frac{1}{2}$∠MON=30°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO=∠NOE=35°，∠BAO=180°-∠AON=110°，
∵∠BAD=∠ABD，∠ABD=35°，
∴∠BAD=35°，
∴∠OAC=∠BAO-∠BAD=110°-35°=75°，
∴x=75．

（2）如图3中，
∵∠AOB=35°，∠BAO=90°，
∴∠ABO=55°，
①当点D在线段OB上时，

若∠ADB=∠ABD=55°，
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=70°，
∴∠OAD=90°-70°=20°，即x=20，
若∠BAD=∠ABD=55°，则∠OAD=90°-55°=35°，即x=35°，
若∠ADB=∠BAD，则∠BAD=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABD）=62.5°，
∴∠OAD=90°-62.5°=27.5°，即x=27.5．
②当点D在射线BE上时，∵∠ABD=180°-∠ABO=125°，
∴∠DAB=∠ADB=27.5°，
此时x=27.5+90=117.5则AD与ON不相交，所以舍弃，
综上所述，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，x的值为20或35或27.5．

点评 本题考查三角形综合题、角平分线的定义．平行线的性质、直角三角形的性质、时间最内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论是思想思考问题，属于中考常考题型．