Question

已知二次函数y=ax²+bx+c同时满足下列条件：①对称轴是x=1；②最值是15；③图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15-a，则b的值是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：由抛物线的对称轴及最值，得到抛物线的顶点坐标，表示出抛物线的顶点式方程，令y=0，得到关于x的一元二次方程，设方程的两个根为x₁，x₂，利用根与系数的关系表示出x₁+x₂及x₁x₂，把横坐标的平方和利用完全平方公式变形后，将表示出x₁+x₂及x₁x₂代入，根据横坐标的平方和为15-a，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，由b=-2a可得出b的值．

解答：解：由二次函数y=ax²+bx+c的对称轴为x=1，最值为15，
∴二次函数的顶点坐标为（1，15），此时a，b异号，a＜0，
可得二次函数的解析式为y=a（x-1）²+15，
令y=0，可得ax²-2ax+a+15=0，设方程的两个根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=

a+15

a

=1+

15

a

，又横坐标的平方和为15-a，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2²-（2+

30

a

）=15-a，
解得：a=15（舍去）或a=-2，
则b=-2a=4．
故答案为：4．

点评：此题考查了二次函数与x轴的交点，以及二次函数的性质，涉及的知识有：抛物线的顶点形式，抛物线与x轴交点的求法，根与系数的关系，以及完全平方公式的运用，抛物线与x轴的交点坐标求法为：令抛物线解析式中的y=0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解即为交点的横坐标．