Question

把两个全等的等腰Rt△AOB和等腰Rt△DCE（其直角边长均为4）叠放在一起（如图1），且使等腰Rt△DCE的直角顶点C与等腰Rt△AOB的斜边中点C重合．现将等腰Rt△DCE绕C点逆时针方向旋转（旋转角a满足条件：0°＜a＜90°），四边形CPOQ是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图2）．

（1）在图1中，求点C的坐标为（______，______），点D的坐标为（______，______），点E的坐标为（______，______）；
（2）在上述旋转过程中，CP与CQ有怎样的数量关系？四边形CPOQ的面积有何变化？证明你的结论；
（3）在（2）的前提下，BQ的长度是多少时，△CPQ的面积恰好等于△AOB面积的．

Answer 1

解：（1）由题意知：OA=OB=4，即A（0，4），B（4，0）；
由于C是AB中点，则C（2，2）；
由图易知：D、C关于y轴对称，即D（-2，2），同理得：E（2，-2）；
C（2，2）、D（-2，2）、E（2，-2）．

（2）在上述旋转过程中，CP=CQ，四边形CPOQ的面积不变，面积为4，是一个定值，
在旋转过程中其大小始终不变：过点C分别作CM⊥x轴于M点，CN⊥y轴于N点，则CM=CN．
在△CNP与△CMQ中，CM=CN，∠CNP=∠CMQ=90°，
∴∠NCP=∠NCM-∠PCM=90°-∠PCM=∠MCQ，
所以CP=CQ，△CNP与△CMQ的面积相等，
则四边形CPOQ的面积就是正方形CNOP的面积，
所以四边形CPOQ的面积=2×2=4．

（3）设BQ=a，则MQ=2-a，
在Rt△CMQ中，CQ²=CM²+MQ²=4+（2-a）²，
连接PQ，过C作CH⊥PQ，
∵CP=CQ，∠PCQ=90°，
∴△PCQ为等腰直角三角形，
∴H为PQ中点，
∴CH=HQ，∠CHQ=90°，即△CHQ为等腰直角三角形，
∴CH=HQ=CQ，即CQ=CH=HQ，
∴△CPQ的面积S=PQ•CH=×2×CQ×CQ=CQ²=（4+（2-a）²）=×8，
解得a=1或3，
当BQ=1或3时，△CPQ的面积均等于△AOB的面积的．
分析：（1）已知了等腰直角三角形的直角边长，即可得到A、B的坐标；由于C是AB的中点，即可求得C点坐标．由图易知：C、D，C、E分别关于y、x轴对称，即可得解．
（2）此题要通过构造全等三角形来求解；过C分别作x轴、y轴的垂线，设垂足为M、N；易证得△CPN≌△CQM，即可得CP=CQ，△CPN、△CQM的面积相等，那么四边形CPOQ的面积，即可转换为正方形CNOM的面积，由此得解．
（3）设出BQ的长，然后表现出QM的值，即可利用勾股定理求得CQ²的表达式，而△CPQ是等腰直角三角形，那么它的面积为CQ²的一半，根据△AOB的面积可求得△CPQ的面积，即可列出关于BQ长的方程，从而求得BQ的值．
点评：此题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及图形面积的计算方法，（2）题中，正确地构造出全等三角形是解决此题的关键．