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    （2012•衢州）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．
    （1）求该抛物线的函数解析式；
    （2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    （3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式；
    （2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解．结论：存在点P（
    2
    3
    ，
    1
    3
    ），使得四边形ABPM为等腰梯形；
    （3）本问关键是求得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值．解答中提供了三种求解面积S表达式的方法，殊途同归，可仔细体味．
    解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，
    可得c=0，∴
    a+b=2
    4a+2b=1
    ，
    解得a=-
    3
    2
    ，b=
    7
    2
    ，
    ∴抛物线解析式为y=-
    3
    2
    x2+
    7
    2
    x．

    （2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=
    t
    2

    ∴P（t，
    t
    2
    ），∵点M在抛物线上，∴M（t，-
    3
    2
    t2+
    7
    2
    t）．
    如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，
    AG=yA-yM=2-（-
    3
    2
    t2+
    7
    2
    t）=
    3
    2
    t2-
    7
    2
    t+2，BH=PN=
    t
    2
    ．
    当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，
    ∴
    3
    2
    t2-
    7
    2
    t+2=
    t
    2
    ，
    化简得3t2-8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=
    2
    3
    ，
    ∴点P的坐标为（
    2
    3
    ，
    1
    3
    ）
    ∴存在点P（
    2
    3
    ，
    1
    3
    ），使得四边形ABPM为等腰梯形．

    （3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．
    求得过A、C的直线为yAC=-x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，-a+3），
    易知△OQT∽△OCD，可得QT=
    a
    2
    ，
    ∴点Q的坐标为（a，
    a
    2
    ）．

    解法一：
    设AB与OC相交于点J，
    ∵△A′RQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴
    HT
    OB
    =
    A′Q
    AJ

    ∴HT=
    A′Q
    AJ
    •OB    =
    3-a-
    1
    2
    a
    2-
    1
    2
    ×1    =2-a，
    KT=
    1
    2
    A′T=
    1
    2
    （3-a），A′Q=yA′-yQ=（-a+3）-
    a
    2
    =3-
    3
    2
    a．
    S四边形RKTQ=S△A′KT-S△A′RQ
    =
    1
    2
    KT•A′T-
    1
    2
    A′Q•HT
    =
    1
    2
    •
    3-a
    2
    •（3-a）-
    1
    2
    •（3-
    3
    2
    a）•（-a+2）
    =-
    1
    2
    a2+
    3
    2
    a-
    3
    4
    =-
    1
    2
    （a-
    3
    2
    ）2+
    3
    8

    由于-
    1
    2
    ＜0，
    ∴在线段AC上存在点A′（
    3
    2
    ，
    3
    2
    ），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为
    3
    8
    ．

    解法二：
    过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得
    RH
    OH
    =
    CD
    OD
    =
    1
    2
      ①
    由△RKH∽△A′O′B′，得
    KH
    RH
    =
    O′B′
    A′B′
    =
    1
    2
       ②
    由①，②得KH=
    1
    4
    OH，
    OK=
    3
    4
    OH，KT=OT-OK=a-
    3
    4
    OH   ③
    由△A′KT∽△A′O′B′，得
    KT
    A′T
    =
    O′B′
    A′B′
    =
    1
    2
    ，
    则KT=
    3-a
    2
        ④
    由③，④得
    3-a
    2
    =a-
    3
    4
    OH，即OH=2a-2，RH=a-1，所以点R的坐标为R（2a-2，a-1）
    S四边形RKTQ=S△QOT-S△ROK=
    1
    2
    •OT•QT-
    1
    2
    •OK•RH
    =
    1
    2
    a•
    1
    2
    a-
    1
    2
    （1+
    3
    2
    a-
    5
    2
    ）•（a-1）
    =-
    1
    2
    a2+
    3
    2
    a-
    3
    4
    =-
    1
    2
    （a-
    3
    2
    ）2+
    3
    8

    由于-
    1
    2
    ＜0，
    ∴在线段AC上存在点A′（
    3
    2
    ，
    3
    2
    ），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为
    3
    8
    ．

    解法三：
    ∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=
    1
    2
    ，
    ∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（-a+3）•
    1
    2
    =-
    1
    2
    a+
    3
    2
    ，
    ∴OK=OT-KT=a-（-
    1
    2
    a+
    3
    2
    ）=
    3
    2
    a-
    3
    2
    ，
    过点R作RH⊥x轴于H，
    ∵cot∠OAB=tan∠RKH=
    RH
    KH
    =2，
    ∴RH=2KH
    又∵tan∠OAB=tan∠ROH=
    RH
    OH
    =
    RH
    OK+KH
    =
    1
    2
    ，
    ∴2RH=OK+KH=
    3
    2
    a-
    3
    2
    +
    1
    2
    RH，
    ∴RH=a-1，OH=2（a-1），
    ∴点R坐标R（2a-2，a-1）
    S四边形RKTQ=S△A′KT-S△A′RQ=
    1
    2
    •KT•A′T-
    1
    2
    A′Q•（xQ-xR）
    =
    1
    2
    •
    3-a
    2
    •（3-a）-
    1
    2
    •（3-
    3
    2
    a）•（-a+2）
    =-
    1
    2
    a2+
    3
    2
    a-
    3
    4
    =-
    1
    2
    （a-
    3
    2
    ）2+
    3
    8

    由于-
    1
    2
    ＜0，
    ∴在线段AC上存在点A′（
    3
    2
    ，
    3
    2
    ），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为
    3
    8
    ．
    点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、等腰梯形、相似三角形、图形的平移以及几何图形面积的求法，涉及到的知识点众多，难度较大，对学生能力要求较高，有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力．
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    P1（0，-4）P2（-4，-4）P3（4，4）
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    ．

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