Question

如图，函数y=ax²+bx+c（其中a，b，c为常数）的图象分别与x轴，y轴交于A，B，C三点，M为抛物线的顶点，且AC⊥BC，OA＜OB．
（1）试确定a，b，c的符号；
（2）求证：b²-4ac＞4；
（3）当b=2时，M点与经过A，B，C三点的圆的位置关系如何？证明你的结论．注：y=ax²+bx+c的对称轴为x=-

b

2a

，顶点为(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．

Answer 1

分析：（1）抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，首先可以确定的是c＞0．由于抛物线与x轴的两交点在原点两侧，如果设（x₁，0），B（x₂，0）的话，那么根据x₁x₂=

c

a

＜0，由此可确定a的符号．由于抛物线对称轴在y轴右侧，因此抛物线的对称轴方程大于0，据此可求出b的符号；
（2）根据圆周角定理，可得出∠ACB=90°，在直角三角形ACB中，根据射影定理可得出OC²=OA•OB，即c²=-x₁x₂=-

c

a

，由此可得出ac=-1，代入b²-4ac中即可得出证的条件；
（3）将b的值代入抛物线的解析式中，表示出M点和圆心的坐标，进而可求出圆的半径，然后比较圆的半径和M点纵坐标的大小关系即可．

解答：解：（1）∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，x₁x₂=

c

a

＜0，a＜0，
由于抛物线对称轴在y轴右侧，
因此抛物线的对称轴方程大于0，
即-

b

2a

＞0，b＞0．
∴a＜0，b＞0，c＞0；

（2）设A（x₁，0），B（x₂，0），
则x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，
∵AC⊥CB，且C点坐标为（0，c），
∴Rt△AOC∽Rt△COB，
∴

c

x2

=

-x1

c

，
即x₁x₂=-c²=

c

a

，
∴ac=-1，
∴b²-4ac=b²+4＞4；

（3）M点在经过A，B，C三点的圆外，
理由如下：当b=2时，-

b

2a

=-

1

a

，

4ac-b2

4a

=

4×(-1)-22

4a

=-

2

a

，
∵AC⊥CB，
∴经过A，B，C三点的圆的圆心为AB的中点D（-

1

a

，0），
半径为DC=

OC2+OD2

=

(- 1 a )2+c2

=

1+a2c2 a2

=-

2

a

，
又∵M点的坐标为（-

1

a

，-

2

a

），且a＜0，
∴DM=-

2

a

＞-

2

a

=DC，
∴M点在经过A，B，C三点的圆外．

点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理的应用以及点与圆的位置关系等知识．