Question

6．（1）如图1，正方形ABCD中，M是BC边上的（不含端点B、C）任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的角平分线上一点，若∠AMN=90°，若在AB上截取AE=MC，连接EM，求证：AM=MN；
（2）若点M在BC的延长线上，N是∠DCP的角平分线上一点，∠AMN=90°，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接证明△AME≌△MNC即可．
（2）延长BA到E使得AE=CM，证明△AME≌△MNC即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=∠BCD=∠DCB=90°，
∵AE=CM，
∴BE=BM，
∴∠BEM=∠BME=45°，
∴∠AEM=180°-∠BEM=135°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∵∠EAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠NMC=90°，
∴∠EAM=∠NMC，
∵CN平分∠DCP，
∴∠NCP=$\frac{1}{2}$∠DCP=45°，
∴∠NMC=180°-∠NCP=135°，
∴∠AEM=∠NCM，
在△AME和△MNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAM=∠NMC}\\{AE=CM}\\{∠AEM=∠NCM}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△MNC，
∴AM=MN．
（2）在图2中，延长BA到E使得AE=CM，连接EM．
∵AB=BC，AE=CM，∠B=90°，
∴BE=BM，∠E=∠BME=45°，
∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠NMP=90°，
∴∠BAM=∠NMP，
∴∠EAM=∠NMC，
∵∠AEM=∠NCM=45°，
在△AME和△MNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAM=∠NMC}\\{AE=CM}\\{∠AEM=∠NCM}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△MNC，
∴AM=MN．

点评 本题考查正方形、全等三角形的判定，证明线段相等转化为证明三角形全等是常用的方法，关键是学会辅助线的添加．