Question

1．如图1，已知抛物线C₁：y=-（x-1）²+4与x轴交于A、B两点，将抛物线C₁沿x轴翻折后，再作适当平移得到抛物线C₂，且抛物线C₂的顶点恰好在B点，抛物线C₂与抛物线C₁交于点Q．

（1）请直接写出抛物线C₂的表达式，并判断Q点是否为抛物线C₁的顶点；
（2）将抛物线C₂沿抛物线C₁平移得到抛物线C₃，始终保证抛物线C₃的顶点P在第一象限的抛物线C₁上，抛物线C₃与抛物线C₁交于点Q．
①如图2，若△APQ为直角三角形，求抛物线C₃的解析式；
②如图3，过点P作AQ的平行线交x轴于点D，是否存在这样的抛物线C₃，使得四边形ADPQ为等腰梯形？若存在，请求抛物线C₃的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称的性质写出抛物线C₁沿x轴翻折后的解析式，再根据顶点直接写出抛物线C₂的解析式即可；
（2）①首先设出点P坐标，求出点Q坐标，根据直角三角形，作辅助线构造相似三角形，建立等量关系列方程求解即可；
②根据等腰梯形的底角相等，延长QP与x轴相交与点H，构造等于三角形，运用三线合一与射影定理求出H的坐标，进一步求出直线QP，联立抛物线C₁，可求出点P的坐标，进一步写出C₃的解析式．

解答 解：如图1：


（1）抛物线C₁：y=-（x-1）²+4与x轴交于A、B两点，
令y=0，解得：x=-1，或x=3，
∴点A（-1，0），点B（3，0），
将抛物线C₁沿x轴翻折后的解析式为：-y═-（x-1）²+4，整理为y═（x-1）²-4再作适当平移得到抛物线C₂的顶点为：（3，0），
可得：C₂：y=（x-3）²，
联立y=-（x-1）²+4和y=（x-3）²，解得：x=1，y=4，
∴Q（1，4），
∵y=-（x-1）²+4的点为（1，4），
所以Q点是抛物线C₁的顶点；
（2）①如图2：


过点P，A作经过点Q平行于x轴的直线，垂足是N，M，
∵∠OQP=90°，易证△AMQ∽△QNP，
∴$\frac{AM}{QN}=\frac{MQ}{NP}$，
由A（-1，0），Q（1，4）可知：AM=4，MQ=2，
设点P（m，-（m-1）²+4），
QN=m-1，NP=（m-1）²，
∴$\frac{4}{m-1}=\frac{2}{（m-1）^{2}}$，
解得：m=$\frac{3}{2}$，-（m-1）²+4=$\frac{15}{4}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），
所以：C₃：y=$（x-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{15}{4}$，
②如图3：

延长QP交x轴于点H，过点H作HG⊥AQ，
由等腰梯形的性质可知：∠QAH=∠AQH，
∴点G是AQ的中点，
由A（-1，0），Q（1，4），可求G（0，2），
OA=1，OG=2，在Rt△AGH中，OG⊥AH，由射影定理得：OG²=OA×OH，
解得：OH=4，
∴点H（4，0），
设直线QP：y=px+q，代入点Q（1，4），H（4，0）得$\left\{\begin{array}{l}{0=4p+q}\\{4=p+q}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{p=-\frac{4}{3}}\\{q=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线QP：y=$-\frac{4}{3}x+\frac{16}{3}$，
联立y=$-\frac{4}{3}x+\frac{16}{3}$和y=-（x-1）²+4，
解得：x=$\frac{7}{3}$或x=1（舍去），
此时y=$\frac{20}{9}$，
∴点P（$\frac{7}{3}$，$\frac{20}{9}$），
所以四边形ADPQ为等腰梯形时，抛物线C₃的解析式为：y=$（x-\frac{7}{3}）^{2}+\frac{20}{9}$．

点评 此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线关于坐标轴的对称抛物线，并熟练运用顶点式写解析式，知道运用直角构造相似三角形，会设点的坐标并表示线段，分析等量关系列方程是解题的关键．