Question

10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转120°-α得到线段BD．
（1）直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）若∠BCE=150°，∠ABE=60°，求证：△ABD≌△EBC．

Answer 1

分析 （1）根据∠ABD=∠DBC-∠ABC即可解决．
（2）作点D关于直线AB的对称点D′，连接AD′、BD′、CD′，易知△ABD≌△ABD′，△BCD′是等边三角形，再证明△ABD′≌△ACD′可以得∠AD′B=′AD′C=150°，为证明△ABD≌△EBC创造了条件．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∵∠DBC=120°-α，
∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=120°-α-（90°-$\frac{1}{2}$α）=30°-$\frac{1}{2}$α．
（2）作点D关于直线AB的对称点D′，连接AD′、BD′、CD′，易知△ABD≌△ABD′，
∵∠ABE=60°，∠ABC=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=（90°-$\frac{1}{2}$α）-60°=30°-$\frac{1}{2}$α，
∵∠ABD=∠ABD′=30°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠ABD′=∠EBC，
∴∠ABE=∠CBD′=60°，
∵BC=BD=BD′，
∴△BCD′是等边三角形，
∴∠D′BC=′D′CB=∠BD′C=60°，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD′=∠ACD′，
∵AB=AC，BD′=CD′，
∴△ABD′≌△ACD′，
∴∠AD′B=∠AD′C=∠D=$\frac{1}{2}$（180°-∠BD′C）=150°，
∵∠D=∠BCE=150°，∠ABD=∠EBC，BD=BC，
∴△ABD≌△EBC．

点评 本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，利用对称作辅助线构造全等三角形是解题的关键．