Question

19．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=$\frac{\sqrt{6}}{x}$上，第二象限的点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，且OA⊥OB，∠A=30°，则k的值为-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M．设A（x，$\frac{\sqrt{6}}{x}$）（x＞0），由点A在反比例函数y=$\frac{\sqrt{6}}{x}$上可得ON•AN=$\sqrt{6}$，由tan∠A=$\frac{BO}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，再证明△MBO∽△NOA，可得$\frac{BM}{NO}$=$\frac{MO}{AN}$=$\frac{BO}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，进而可得BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ON，OM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AN，然后再利用反比例函数图象上点的坐标特点可得k=-OM•BM=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$ON×$\frac{\sqrt{3}}{3}$AN=-$\frac{1}{3}$×$\sqrt{6}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

解答 解：过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M．
∵第一象限内的点A在反比例函数y的图象上，
∴设A（x，$\frac{\sqrt{6}}{x}$）（x＞0），ON•AN=$\sqrt{6}$．
∵∠A=30°，
∴tan∠A=$\frac{BO}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵OA⊥OB，
∴∠BMO=∠ANO=∠AOB=90°，
∴∠MBO+∠BOM=90°，∠MOB+∠AON=90°，
∴∠MBO=∠AON，
∴△MBO∽△NOA，$\frac{BM}{NO}$=$\frac{MO}{AN}$=$\frac{BO}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ON，OM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AN．
又∵第二象限的点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=-OM•BM=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$ON×$\frac{\sqrt{3}}{3}$AN=-$\frac{1}{3}$×$\sqrt{6}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点，横纵坐标之积等于k．