Question

如图，在边长为4的正方形中，点在上从向运动，连接交于点．

（1）试证明：无论点运动到上何处时，都有△≌△；

（2）当点在上运动到什么位置时，△的面积是正方形面积的；

（3）若点从点运动到点，再继续在上运动到点，在整个运动过程中，当点 运动到什么位置时，△恰为等腰三角形．

Answer 1

（1）证明：在正方形中，无论点运动到上何处时，都有

=  ∠=∠  =                  

         ∴△≌△

(2)解法一：△的面积恰好是正方形ABCD面积的时，

过点Q作⊥于,⊥于，则 =   

    

==

     ∴=

由△ ∽△得        解得

∴时，△的面积是正方形面积的  

解法二：以为原点建立如图所示的直角坐标系，过点作⊥轴于点，⊥轴于点．                                        

 ==     ∴=

     ∵点在正方形对角线上    ∴点的坐标为

 ∴ 过点（0，4），(两点的函数关系式为：

 当时，   ∴点的坐标为（2，0）

     ∴时，△的面积是正方形面积的．

（3）若△是等腰三角形，则有 =或=或=

①当点运动到与点重合时，由四边形是正方形知  =

       此时△是等腰三角形

      ②当点与点重合时，点与点也重合，

此时=, △是等腰三角形               

③解法一：如图，设点在边上运动到时，有=

∵ ∥       ∴∠=∠     

又∵∠=∠  ∠=∠

∴∠=∠

∴ ==

∵=    =  =4

∴

即当时，△是等腰三角形      

    解法二：以为原点建立如图所示的直角坐标系，设点在上运动到时，

有=．

过点作⊥轴于点，⊥轴于点,则

在△中，，∠=45°  

∴=°=

∴点的坐标为（，）

∴过、两点的函数关系式：+4

当=4时，   ∴点的坐标为（4，8-4）．

∴当点在上运动到时，△是等腰三角形．