Question

如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=10．
（1）求矩形ABCD的周长；
（2）E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．
①求DE的长；
②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．
（3）M是AD上的动点，在DC 上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．

Answer 1

分析：（1）因为矩形的两组对边相等，所以周长等于邻边之和的2倍；
（2）①四边形ABCD是矩形，由折叠对称的特点和勾股定理即可求出ED的长；
②分若AP=AF；PF=AF以及AP=P三种情形分别讨论求出满足题意的PB的值即可；
（3）由题意可知当点N与C重合时，CT取最大值是8，当点M与A重合时，CT取最小值为4，进而求出线段CT长度的最大值与最小值之和．

解答：解：（1）周长=2×（10+8）=36；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE．
在Rt△ABF中，BF=6，
∴FC=4，
在Rt△ECF中，4²+（8-DE）²=EF²，
解得DE=5，
②分三种情形讨论：
若AP=AF，
∵AB⊥PF，
∴PB=BF=6，
若PF=AF，则PB+6=10，
解得PB=4，
若AP=PF，在Rt△APB中，AP²=PB²+AB²，解得PB=

7

3

，
综合得PB=6或4或

7

3

．
（3）当点N与C重合时，CT取最大值是8，
当点M与A重合时，CT取最小值为4，
所以线段CT长度的最大值与最小值之和为：12．

点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用以及图形折叠的问题，题目综合性很强，难度不小．