解:(1)1:4;(1分)
(2)正方形;1:2;(3分)
(3)实践探究:正五边形.(4分)
解:设OE交NM于点K,则可得∠ONE=90°,∠OKN=90°,
又∵∠NOE为公共角,
∴△KON∽△NOE.
设△KON的面积为S
1,△NOE的面积为S
2,
则
.(6分)
∵
=
,
∴∠EON=36°.
∴
=sin
254°(或cos
236°).
∴S
五边形FGHMN:S
五边形ABCDE=S
1:S
2=sin
254°(或cos
236°)(8分)
(4)拓展归纳:S
n边形B1B2Bn:S
n边形A1A2An=(或
)(10分)
分析:(1)利用三角形的中位线定理即可得到两三角形相似且相似比为1:2,故面积为1:4;
(2)易得四边形EFGH为正方形,且面积等于原正方形的面积的一半;
(3)可以利用全等三角形证得五边形为正五边形,设OE交NM于点K,则可得∠ONE=90°,∠OKN=90°,证得△KON∽△NOE,利用面积的比等于相似比的平方,相似比恰恰是∠EON的余弦值,从而得到结论;
(4)按照(3)总结的规律即可得到∠EON为
,从而得到结论.
点评:本题考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质、三角形的中位线定理等知识,是一道综合性较强的题目,难度较大.