Question

如图所示，已知一次函数y=kx+m（k，m为常数）的图象经过点A（0，6），B（3，0），二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A和点C，点C是二次函数图象上的最低点，并且满足AC=2BC
（1）求一次函数的解析式；
（2）求二次函数的解析式；
（3）判断关于x的方程ax²+bx+c=kx+m是否有实数根，如有，求出它的实数根；如没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A（0，6），B（3，0）两点坐标代入y=kx+m中，列方程组求k、m的值即可；
（2）过点C作CD⊥x轴于D，则CD∥AO，可证△BCD∽△BAO，由相似的性质及AC=2BC，可求CD，代入直线AB的解析式可求OD，确定顶点C的坐标，设抛物线顶点式，将A点坐标代入，可求抛物线解析式；
（3）方程ax²+bx+c=kx+m可看作求抛物线y=ax²+bx+c与直线y=kx+m的交点横坐标值，观察图象可知，方程有两个不相等的实数根，即A、B两点的横坐标值．

解答：解：（1）依题意得：

6=m 0=3k+m

，
解得：

k=-2 m=6

，
∴一次函数的解析式为y=-2x+6；

（2）过点C作CD⊥x轴于D，则CD∥AO，
∴△BCD∽△BAO，∴

CD

AO

=

BC

BA

，
∵AC=2BC∴

BC

BA

=

1

3

，∴CD=

1

3

AO=2，
当y=2时，-2x+6=2，解得x=2∴C（2，2），
由顶点C（2，2）设二次函数的解析式为y=a（x-2）²+2，
把A（0，6）代入上式，解得a=1
∴二次函数的解析式为y=（x-2）²+2；

（3）关于x的方程ax²+bx+c=kx+m有实数根．
理由：∵一次函数y=kx+m（k，m为常数）的图象与二次函数y=ax²+bx+c的图象交于点A、点C，
∴关于x的方程ax²+bx+c=kx+m的实数根为x₁=0，x₂=2．

点评：本题主要考查了一次函数、二次函数解析式的确定，函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．