Question

如图．在平面直角坐标系中，点0为坐标原点．直线y=

3

4

x+6与x轴交于点A，与y轴交于点C，点B为x轴正半轴上一点，∠CAB=∠OCB，点E从A点出发沿AC向C点运动，点F从B点出发沿BC向C点运动，两点同时出发，速度均为1个单位/秒．并且一个点到达终点时另一个点也停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求直线BC的解析式；
（2）连接EF．将线段EF绕点F顺时针旋转45°，得到线段FC，过点E作EM⊥FG．垂足为M，连接MC．求MC的长；
（3）在（2）的条件下，作点M关于直线EF的对称点N，连接NB、CN．当t为何值时，△CNB为直角三角形．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：几何综合题,分类讨论

分析：（1）根据y=

3

4

x+6与x轴交于点A，与y轴交于点C，求出OA=8，OC=6，设OB=a，根据

OC

OA

=

OB

OC

，求出a，得出点B的坐标，再把B、C两点的坐标代入y=kx+b即可得出答案；
（2）过点M作MK⊥FC交AC于点K，根据∠EMK=∠FMC，∠MEK=∠MFC，ME=MF，证出△MEK≌△MFC，得出∠MCK=∠MKC=45°，再求出AC=10，BC=

15

2

，从而得出CE=10-t，CF=

15

2

-t，再求出CK=CE-EK=

5

2

，最后根据

2

CM=CK，即可得出CM的长；
（3）根据点N为点M关于直线EF的对称点，得出四边形MENF为正方形，当∠NBC=90°时，过点M作MD⊥BC交BC的延长线于点D，则∠MDF=∠NBF=90°，
再证出△MDF≌△FBN，得出MD=BF，再根据∠MCD=45°，MC=

5 2

4

，得出BF=MD=

2

2

MC=

5

4

，求出t=

5

4

秒时，△CNB为直角三角形．当∠BNC=90°时，
根据∠ENF=90°，得出∠ENC=∠FNB，∠MEC+∠CEN=∠CFM+∠BFN=90°，再证出∠CEN=∠BFN，得出△CEN≌△BFN，则CE=BF，从而得出10-t=t，求出t=5秒时，△CNB为直角三角形．

解答：解：（1）∵y=

3

4

x+6与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴A（-8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
设OB=a，
∵∠CAB=∠OCB，
∴tan∠CAB=tan∠OCB，
∴

OC

OA

=

OB

OC

，
∴

6

8

=

a

6

，
∴a=

9

2

，
∴B（

9

2

，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B、C两点的坐标代入y=kx+b得：

6=b 0= 9 2 k+b

，
解得：

k=- 4 3 b=6

，
∴直线BC的解析式为y=-

4

3

x+6；
（2）过点M作MK⊥FC交AC于点K，
∵∠EMF=90°，
∴∠EMK=∠FMC，
∵∠ACB=90°，∠MHE=∠CHF，
∴∠MEK=∠MFC，
∵∠EFM=45°，
∴ME=MF，
∴△MEK≌△MFC，
∴EK=FC，MK=MC，
∴∠MCK=∠MKC=45°，
∵OC=6，OA=8，OB=

9

2

，
∴AC=10，BC=

15

2

，
∴CE=10-t，CF=

15

2

-t，
∴CK=CE-EK=10-t-（

15

2

-t）=

5

2

，
∴

2

CM=CK=

5

2

，
∴CM=

5 2

4

．
（3）∵点N为点M关于直线EF的对称点，
∴四边形MENF为正方形，
如图（2），当∠NBC=90°时，
过点M作MD⊥BC交BC的延长线于点D，
则∠MDF=∠NBF=90°，
∵∠MFN=90°，
∴∠MFD+∠NFB=90°，∵∠FNB+∠NFB=90°，
∴∠MFD=∠FNB，
∵MF=NF，∴△MDF≌△FBN，
∴MD=BF，∵∠MCE=45°，
∴∠MCD=45°，
∵MC=

5 2

4

，∴BF=MD=

2

2

MC=

5

4

，
∴t=

5

4

秒时，△CNB为直角三角形．
如图（3），当∠BNC=90°时，
∵∠ENF=90°，
∴∠ENC=∠FNB，
∠MEC+∠CEN=∠CFM+∠BFN=90°，
∵∠MEC=∠CFM，
∴∠CEN=∠BFN，
∵NE=NF，∴△CEN≌△BFN，
∴CE=BF，
∴10-t=t，t=5，∴t=5秒时，△CNB为直角三角形．
综上所述：t=

5

4

秒或t=5秒时，△CNB为直角三角形．

点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数的图象和性质、全等三角形的判定与性质，解题时要注意分类讨论思想的应用．