Question

如图，抛物线y=-x²+（m+2）x-3（m-1）交x轴于A、B，交y轴于C．直线y=（m+1）x-3经过点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点Q为线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于E，连CQ．当S_△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）直线y=kx（k＜0）交直线y=（m+1）x-3于P，交抛物线y=-x²+（m+2）x-3（m-1）于点M，过M作x轴的垂线，垂足为D，交直线y=（m+1）x-3于N．△PMN能否为等腰三角形？若能，求k的值；若不能，说明理由．

Answer 1

解：（1）由-x²+（m+2）x-3（m-1）=0，
得x₁=m-1，x₂=3．
∴A（3，0）B（m-1，0）．
∵直线y=（m+1）x-3过A点，
∴m=0，
∴函数解析式分别为：y=-x²+2x+3，y=x-3；

（2）把x=0代入y=-x²+2x+3，得y=3．
∴C（0，3）．
设Q（m，0），过点D作DE⊥x轴于D．
由（1）知：B（-1，0），A（3，0），
∴AB=4，BQ=m+1
∵EQ∥AC，∴△BQE∽△BAC，
∴
即，
∴DE=
∴S_△CPD=S_△CAP-S_△DAP
=
=
=
∴当m=1时，S_△CPD有最大值，此时P（1，0）

（3）设直线y=x-3交y轴于点C
∴C（0，-3），A（3，0）
∴OC=OA
∴∠OAC=∠NAD=45°
若△PMN为等腰三角形，且k＜0，则PN=PM．
当PN=PM时，则∠PNM=∠PMN=45°
∵∠ODM=90°
∴OD=DM，设M的坐标为（m，-m）
∴-m=km，k=-1
当PN=MN时，
∵MN∥OC
∴
∠ACO=∠PN
∴PC=OC=3
过点P作PH垂直y轴于H
∴PH=CP=
CH=PH=
OH=3-
∴P
又点P在直线y=kx上
∴

综上，k=-1或k=1-．
分析：本题是一道二次函数综合试题
（1）利用二次函数与x轴的交点求函数的解析式，当y=0时就可以求出点A、B的坐标．再利用直线的解析式求出m的值从而求出二次函数的解析式．
（2）要求面积最大时Q点坐标，就应该想到建立有关的表示三角形面积的二次函数求最值，把△CEQ的面积表示出来就可，关键是利用三角形相似求出△BQE的高．
（3）根据等腰三角形的判定及性质分情况讨论所成的等腰三角形，首先可以利用直线y=x-3求出于y轴的交点．然后就可以根据情况求出k值．
点评：本题考查的是一道二次函数综合试题，考查了根据坐标求解析式，三角形相似，三角形的面积，二次函数顶点坐标的运用，等腰三角形．是一道难度较大的题．