Question

（2012•金山区一模）我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．

如图1，P是斜坐标系xOy中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，若M、N在x轴、y轴上分别对应实数a、b，则有序数对（a，b）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标．
（1）如图2，已知斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，试在该坐标系中作出点A（-2，2），并求点O、A之间的距离；
（2）如图3，在斜坐标系xOy中，已知点B（4，0）、点C（0，3），P（x，y）是线段BC上的任意一点，试求x、y之间一定满足的一个等量关系式；
（3）若问题（2）中的点P在线段BC的延长线上，其它条件都不变，试判断上述x、y之间的等量关系是否仍然成立，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）作AM∥y轴，AM与x轴交于点M，AN∥x轴，AN与y轴交于点N，构建菱形AMON，然后根据菱形的性质以及等边三角形的判定与性质来求OA的长度；
（2）过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，则 PN=x，PM=y；根据平行线截线段成比例分别列出关于x、y的比例式

PN

OB

=

CP

CB

、

PM

OC

=

BP

BC

；再由线段间的和差关系求得PC+BP=BC知

x

4

+

y

3

=

CP

CB

+

BP

BC

=1；
（3）当点P在线段BC的延长线上时，上述结论仍然成立．理由如下：这时 PN=-x，PM=y，证明过程同（2）．

解答：解：（1）作AM∥y轴，AM与x轴交于点M，AN∥x轴，AN与y轴交于点N，
则四边形AMON为平行四边形，且OM=ON，
∴AMON是菱形，OM=AM
∴OA平分∠MON，
又∵∠xOy=60°，
∴∠MOA=60°，
∴△MOA是等边三角形，
∴OA=OM=2；

（2）过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，
则 PN=x，PM=y，
由PN∥OB，得

PN

OB

=

CP

CB

，即

x

4

=

CP

CB

；
由PM∥OC，得

PM

OC

=

BP

BC

，即

y

3

=

BP

BC

；
∴

x

4

+

y

3

=

CP

CB

+

BP

BC

=1，
即 3x+4y=12．

（3）当点P在线段BC的延长线上时，上述结论仍然成立．理由如下：这时 PN=-x，PM=y，
与（2）类似，

-x

4

=

CP

CB

，

y

3

=

BP

BC

．
又∵

BP

BC

-

CP

BC

=1．
∴

y

3

-

-x

4

=1，即

x

4

+

y

3

=1．

点评：本题综合考查了平行线截线段成比例、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．解答本题时，是通过作辅助线构建平行四边形（或菱形）解答问题的．