Question

如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ=

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BC，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长．

Answer 1

分析：过P点作PF∥BC，交AC于F点，得到等边△APF，由PE⊥AC，根据等腰三角形的性质得到EF=

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AF，由PF∥AB得到∠PFD=DCQ，∠FPD=∠Q，证出△PDF≌△QDC，根据相似三角形的性质推出DF=CD，由EF=

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AF和DF=

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CF得到DE=

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AC，即可求出答案．

解答：解：过P点作PF∥BC，交AC于F点
∵等边△ABC的边长为10，
∵点P是边AB的中点，CQ=

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BC，
∴AP=CQ，
∵PF∥CQ，
∴△APF是等边三角形
∵PE⊥AC，
∴EF=

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AF，
∵△APF是等边三角形，AP=CQ，
∴PF=CQ
∵PF∥CQ，
∴∠PFD=∠DCQ，∠FPD=∠Q，
∵PF=CQ，
∴△PDF≌△QDC，
∴DF=CD，
∴DF=

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CF，
∴DE=EF+DF=

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AF+

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2

CF=

1

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AC，
∴ED=5．
答：DE的长是5．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，灵活运用等边三角形的性质和判定进行证明是解此题的关键，题型较好，有一点难度．