Question

已知抛物线y=a（x+1）²+c与x轴交于点A（-3，0），
（1）直接写出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）若直线过抛物线顶点M及抛物线与y轴的交点C（0，3）．
①求直线MC所对应的函数关系式；
②若直线MC与x轴的交点为N，在抛物线上是否存在点P，使得△NPC是以NC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意知，抛物线的对称轴为：x=-1，
已知A（-3，0），
故B（1，0）．

（2）①∵点B（1，0），C（0，3）在抛物线上，抛物线与y轴交于点C（0，3）；
∴，
解得，
∴抛物线所对应的函数关系式为y=-（x+1）²+4；
∴M（-1，4）设直线MC所对应的函数关系式为y=kx+b，
∴，
解得，
∴直线MC所对应的函数关系式为y=-x+3；
②假设在抛物线上存在异于点C的点P，使得△NPC是以NC为直角边的直角三角形．
1）若PN为△NPC的另一条直角边，如图1；
易得直线MC与x轴的交点坐标为N（3，0），
∵OC=ON，
∴∠CNO=45°，
在y轴上取点D（0，-3），连接ND交抛物线于点P，
∵ON=OD，
∴∠DNO=45°，
∴∠PNC=90°．
设直线ND的函数表达式为y=mx+n；
可得，
解得
∴直线ND的函数表达式为y=x-3；
设点P（x，x-3），并将它代入抛物线的函数表达式，得x-3=-（x+1）²+4，
即x²+3x-6=0，
解得，，
∴，；
∴满足条件的点为，），，）．

2）若PC是另一条直角边，如图2；
∵点A是抛物线与x轴的另一交点，
∴点A的坐标为（-3，0）；
连接AC；
∵OA=OC，
∴∠OCA=45°，
又∵∠OCN=45°，
∴∠ACN=90°，
∴点A就是所求的点P₃（-3，0）；
第二种解法：求出直线AC的函数表达式为y=x+3；
设点P（x，x+3），代入抛物线的函数表达式，
得x+3=-（x+1）²+4，
即x²+3x=0；
解得x₁=-3，x₂=0；
∴y₁=0，y₂=3，
∴点P₃（-3，0），P₄（0，3）（舍去）．]
综上可知，在抛物线上存在满足条件的点有3个，分别，），，），P₃（-3，0）．
分析：（1）根据已知抛物线的解析式，可得到抛物线的对称轴方程，从而根据A点坐标求出点B的坐标．
（2）根据A、B、C三点坐标，即可求得抛物线的解析式和它的顶点坐标；
①已经求得M、C的坐标，利用待定系数法求解即可；
②假设存在符合条件的P点，分两种情况考虑：
1）以N为直角顶点，即PN为另一条直角边；
易求得点N的坐标，根据C、N点的坐标可知∠CNO=45°，若∠PNC=90°，可在y轴截取OD=ON，易得点D的坐标，即可求出直线DN的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标；
2）以C为直角顶点，即PC为另一条直角边；
根据A、C的纵坐标知：∠CAN=45°，此时∠ACN=90°，那么点A即为所求的P点；
综合上述两种情况，即可得到符合条件的P点坐标．
点评：此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数的对称性、用待定系数法确定函数解析式的方法、直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识，需注意的是（2）②中，C、N都有可能是直角顶点，需要分类讨论，以免漏解．