Question

18．菱形ABCD中，∠B=60°，∠MAN=60°，射线AM交直线BC于点E，射线AN交直线CD于点F，连结EF，请解答下列问题：
（1）如图1，求证：EC+FC=AC；
（2）将∠MAN绕点A旋转，如图2，如图3，请直接写出线段EC，FC，AC之间的数量关系，不需要证明；
（3）若S_菱形ABCD=18$\sqrt{3}$，∠CAE=30°，则CF=3或12．

Answer 1

分析 （1）首先证明△ABC为等边三角形，然后再证明△ABE≌△ACF，依据全等三角形的性质可知BE=CF，然后通过等量代换可得到EC+CF=AC；
（2）图2可先证明△ABC为等边三角形，然后再证明△ABE≌△ACF，由全等三角形的性质可得到BE=CF，然后通过等量代换可得到AC+CF=EC；图3可证明△ACE≌△ADF，从而得到CE=DF，通过等量代换可得到CF=AC+CE；
（3）图1中，依据等腰三角形三线合一的性质可知AE⊥BC，BE=CE，然后可求得AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，依据菱形的面积公式可求得AB=6．，从而得到BE=EC=3，由（2）可知CF=BE，从而可求得CF的长，图3在Rt△ABE中，可求得BE=12，然后由CF=BE可求得CF的长．

解答 解：（1）如图1所示：

∵四边形ABCD为菱形，∠B=60°
∴AB=BC，∠ACF=∠B=60°．
又∵∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴AC=BC=AB，∠BAC=60°．
又∵∠MAN=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE和△ACF中$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACF}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF．
∴EC+CF=EC+BE=BC．
又∵BC=AC，
∴EC+CF=AC．

（2）如图2所示：AC+CF=EC．

∵四边形ABCD为菱形，∠B=60°
∴AB=BC，∠ACD=∠B=60°．
∴∠ACF=120°．
∵∠B=60°，AB=BC，
∴△ABC为等边三角形．
∴AC=BC=AB，∠ABC=60°．
∴∠ABE=120°．
∴∠ABE=∠ACF．
∵∠MAN=∠BAC=60°
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE和△ACF中$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠ABE=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF．
∴FC+BC=BE+BC=CE．
∵BC=AC，
∴FC+AC=CE．
如图3所示：
又∵BC=AC，
∴EC+CF=AC．
如图3所示：CF=AC+CE．

在△ACE和△ADF中$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠DAF}\\{AC=AD}\\{∠ACE=∠ADF=120°}\end{array}\right.$，
△ACE≌△ADF（ASA）．
∴CE=DF．
∴CF=CD+DF=CD+CE=AC+CE，即CF=AC+CE．
（3）如图1所示：
∵∠CAE=30°，∠CAB=60°，
∴AE平分∠CAB．
又∵AB=AC，
∴AE⊥BC，BE=CE．
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB．
∵S_菱形ABCD=18$\sqrt{3}$，
∴AB•$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=18$\sqrt{3}$．
∴AB=6．
∴BE=EC=3．
∴CF=3．
如图3所示：
∵∠CAE=30°，∠BAC=60°，
∴∠BAE=90°．
又∵AB=6，∠B=60°，
∴BE=12．
∴CF=AC+CE=BC+CE=12．
综上所述，CF=3或CF=12．
故答案为：3或12．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，找出图中全等的三角形是解题的关键．