Question

在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c，且a=3，b，c是关于x的方程x²+mx+2-m=0的两个根，则三角形ABC的周长等于________．

Answer 1

或7
分析：等腰三角形ABC中a可能是底边，也可能是腰，应分两种情况进行讨论．①当a是腰时，则方程有一个根是3，代入即可求得m的值，从而求解；②当a是底边时，方程有两个相等的实根，根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系，从而求得其周长．
解答：∵b、c是关于x的方程x²+mx+2-m=0的两个实数根，
∴b+c=-m，bc=2-m．
分两种情况：
①当a为其腰时，则b=a，或c=a，
∴方程必有一个根为3，
代入方程得：9+3m+2-m=0，
解得m=-，
则b+c=，
则周长是a+b+c=；
②当a为其底时，b=c，原方程有两个相等的实数根，
∴△=m²-4×（2-m）=0，
∴m₁=-4，m₂=2＞0（舍去），
∵b+c=4＞a，bc=4＞0，
∴m=-4符合题意，
∴a+b+c=3+4=7．
∴△ABC的周长为或7．
故答案为：或7．
点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理．难度中等．根据等腰三角形的性质，将a边进行分类是解题的关键．
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根；
一元二次方程根与系数的关系：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，那么x₁+x₂=-，x₁x₂=，反过来也成立，即=-（x₁+x₂），=x₁x₂．
三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．