如图1.在平面直角坐标系中.有A两点.在y轴正半轴上取一点M(使M.A.B不在一条直线上).连接AB.AM.BM.取AB的中点C.作射线MC.过点A作AN∥MB.交射线MC于点N.连接BN．(1)求证:四边形AMBN是平行四边形,的条件下.将△AMN沿直线MN翻折.得△MA′N.A′N交MB于点F.求证:FM=FN,的条件下.当点M移动到与坐标原点O重合时.试求直线A′N的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．如图1，在平面直角坐标系中，有A（2，4），B（6，0）两点，在y轴正半轴上取一点M（使M、A、B不在一条直线上），连接AB、AM、BM，取AB的中点C，作射线MC，过点A作AN∥MB，交射线MC于点N，连接BN．
（1）求证：四边形AMBN是平行四边形；
（2）如图2，在（1）的条件下，将△AMN沿直线MN翻折，得△MA′N，A′N交MB于点F，求证：FM=FN；
（3）如图3，在（2）的条件下，当点M移动到与坐标原点O重合时，试求直线A′N的解析式．

分析（1）利用AAS直接判断出△ACN≌△BCM即可；
（2）由折叠得性质得出∠ANM=∠A'NM，即可得出结论；
（3）先确定出点N的坐标，进而确定出OE，借助FM=FN，最后用勾股定理求出OF，即可得出点F的坐标，即可用待定系数法得出结论．

解答解：（1）∵AN∥MB，∴∠BAN=∠ABM，∠ANM=∠BMN，
∵点C是AB的中点，∴AC=BC，
在△ACN和△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ANM=∠BMN}\\{∠BAN=∠ABM}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△BCM（AAS），
∴AN=BM，
∵AN∥BM，
∴四边形AMBN是平行四边形；

（2）由（1）知，∠ANM=∠BMN，
∵将△AMN沿直线MN翻折，得△MA′N，A′N交MB于点F，
∴∠ANM=∠A'NM，
∴∠BMN=A'NM，
∴FM=FN，

（3）如图，当点M移动到与坐标
原点O重合时，BM=OB
∵A（2，4），B（6，0），
∴OA=2$\sqrt{5}$，OB=6=BM，
由（1）知，四边形AMBN是平行四边形，
∴AN∥OB，AN=BM=6，
∴N（8，4），
将△AMN沿直线MN翻折，得△MA′N时，记A′N交MB于点F，
由（2）知，FM=FN，
过点N作NE⊥BM，
∴E（8，0），NE=4，
设点F（m，0），则OF=m，
∴FN=m，
∴EF=8-m，
在Rt△EFN中，EF²+EN²=FN²，
∴（8-m）²+16=m²，
∴m=5，
∴F（5，0），
设直线A'N的解析式为y=kx+b，
∵N（8，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{8k+b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AN'的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{20}{3}$．

点评此题是一次函数综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，待定系数法，解本题得关键是得出FM=FN，是一道中等难点的中考常考题．

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