Question

（2013•大兴区一模）如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将点A、C的坐标代入抛物线解析式可得出b、c的值，继而得出抛物线解析式，利用待定系数法可求出AC的函数解析式；
（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到N点关于直线x=3的对称点N′，连接N'D，N'D与直线x=3的交点即是点M的位置，继而求出m的值．
（3）设出点E的坐标，分情况讨论，①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质表示出F的坐标，将点F的坐标代入抛物线解析式可得出x的值，继而求出点E的坐标．

解答：解：（1）由抛物线y=-x²+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3），可得：

-1-b+c=0 -4+2b+c=3

，
解得：

b=2 c=3

，
故抛物线为y=-x²+2x+3，
设直线AC解析式为y=kx+n，将点A（-1，0）、C（2，3）代入得：

-k+n=0 2k+n=3

，
解得：

k=1 n=1

，
故直线AC为y=x+1．

（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
可求出直线DN′的函数关系式为y=-

1

5

x+

21

5

，
当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
则m=-

1

5

×3+

21

5

=

18

5

．

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）
点E在直线AC上，设E（x，x+1），
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3=-x²+2x+3
解得，x=0或x=1（舍去），
则点E的坐标为：（0，1）．
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），
∵点F在抛物线上，
∴x-1=-x²+2x+3，
解得x=

1- 17

2

或x=

1+ 17

2

，
即点E的坐标为：（

1- 17

2

，

3- 17

2

）或（

1+ 17

2

，

3+ 17

2

）
综上可得满足条件的点E为E（0，1）或（

1- 17

2

，

3- 17

2

）或（

1+ 17

2

，

3+ 17

2

）．

点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、轴对称求最短路径及平行四边形的性质，同学们注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通．