Question

4．先化简，再求值：（$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}-2a+1}$-$\frac{1}{1-a}$）÷$\frac{2}{{a}^{2}-1}$，其中a是方程x²+3x+1=0的根．

Answer 1

分析 将分子、分母因式分解，约分后再将括号内的部分通分，然后将除法转化为乘法，进行化简；然后将a²+3a=-1整体代入即可．

解答 解：原式=[$\frac{（a-1）（a+1）}{（a-1）^{2}}$+$\frac{1}{a-1}$]×$\frac{（a-1）（a+1）}{2}$
=（$\frac{a+1}{a-1}$+$\frac{1}{a-1}$）×$\frac{（a-1）（a+1）}{2}$
=$\frac{a+2}{a-1}$×$\frac{（a-1）（a+1）}{2}$
=$\frac{{a}^{2}+3a+3}{2}$，
∵a是方程x²+3x+1=0的根，
∴a²+3a+1=0，
∴a²+3a=-1，
∴原式=$\frac{-1+3}{2}$=1．

点评 本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，熟悉因式分解是解题的关键．