Question

11．如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为AB中点，F为CD中点，EF分别与BD、AC交于点G、H．
（1）若AC=BD，试比较线段OG、OH的大小，井证明你的结论；
（2）求证：OG•AC=OH•BD．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点，连接ME、MF，根据三角形中位线定理得到EM=$\frac{1}{2}$AC，FM=$\frac{1}{2}$BD，得到ME=MF，得到答案；
（2）证明△OGH∽△MFE，根据相似三角形的性质证明结论．

解答 （1）解：OG=OH．
证明如下：
取BC的中点，连接ME、MF，
则EM=$\frac{1}{2}$AC，FM=$\frac{1}{2}$BD，又AC=BD，
∴ME=MF，
∴∠MFE=∠MEF，
∵ME∥AC，MF∥BD，
∴∠MFE=∠OGH，∠OHG=∠MEF，
∴∠OGH=∠OHG，
∴OG=OH；
（2）∵∠MFE=∠OGH，∠OHG=∠MEF，
∴△OGH∽△MFE，
∴$\frac{OG}{MF}$=$\frac{OH}{ME}$，
∴$\frac{OG}{2MF}$=$\frac{OH}{2ME}$，即$\frac{OG}{BD}$=$\frac{OH}{AC}$，
∴OG•AC=OH•BD．

点评 本题考查的是三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．