Question

9．如图，PA、PB为⊙O的切线，⊙O的半径为2，∠P=60°．阴影部分的周长是$\frac{4}{3}$π+4$\sqrt{3}$，面积是4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．

Answer 1

分析 连结OA、OB、OP，如图，根据切线的性质和切线长定理得到OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，OP平分∠APB，则∠AOB=180°-∠APB=120°，∠APO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°，利用弧长公式可计算出弧AB的长=$\frac{4}{3}$π，利用扇形面积公式可计算出扇形AOB的面积=$\frac{4}{3}$π，接着在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三边的关系可得PA=$\sqrt{3}$OA=2$\sqrt{3}$，则S_△AOP=2$\sqrt{3}$，然后计算弧AB、PA、PB的和得到阴影部分的周长，计算2S_△AOP-S_扇形AOB得到阴影部分的面积．

解答 解：连结OA、OB、OP，如图，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，OP平分∠APB，
∴∠AOB=180°-∠APB=180°-60°=120°，∠APO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°，
∴弧AB的长=$\frac{120•π•2}{180}$=$\frac{4}{3}$π，
扇形AOB的面积=$\frac{120•π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{4}{3}$π，
在Rt△AOP中，∵∠APO=30°，
∴PA=$\sqrt{3}$OA=2$\sqrt{3}$，
∴S_△AOP=$\frac{1}{2}$•2•2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的周长=$\frac{4}{3}$π+2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=$\frac{4}{3}$π+4$\sqrt{3}$
阴影部分的面积=2S_△AOP-S_扇形AOB=2×2$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π=4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．
故答案为$\frac{4}{3}$π+4$\sqrt{3}$；4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了弧长公式和扇形的面积公式．