Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，P为AC上一个动点，PCEF为矩形，其中点E、F分别在BC、AB上．若矩形PCEF的周长等于10，求AP的长．

Answer 1

分析 由矩形的性质可知：EF∥DC，所以△BFE∽△BCA，由相似三角形的性质求出CP的长，即可求出结论．

解答 解：∵四边形EFCD是矩形，
∴EF∥PC，EF=CP，CE=PF，
∵矩形PCEF的周长等于10，
设EF=CP=x，则CE=5-x，BE=x-2，
∵EF∥PC，
∴△BFE∽△BCA，
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BC}$，即$\frac{x}{6}=\frac{x-2}{3}$，
∴x=4，
∴EF=CP=4，
∴AP=2．

点评 本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定以及性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．