Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2，求由劣弧BC、线段CE和BE所围成的图形面积S．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∵OB=OC，OD⊥BC，
∴∠EOC=∠EOB，
∵在△EOC和△EOB中，
，
∴△COE≌△BOE（SAS），
∴∠OCE=∠OBE=90°，
即OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；

（2）解：∵OD⊥BC，
∴CD=BC=×2=，
设OC=x，则OD=OF-DF=x-1，
在Rt△OCD中，OC²=OD²+CD²，
∴x²=（x-1）²+（）²，
解得：x=2，
∴OC=2，∠COD=60°，
∴∠BOC=120°，
∴CF=OC•tan60°=2，
∴S=S_{四边形OBFC}-S_扇形OBC=2S_△OCE-S_扇形OBC=2××2×2-×π×2²=4-π．
分析：（1）首先连接OC，易证得△COE≌△BOE（SAS），即可得∠OCE=∠OBE=90°，证得BE与⊙O相切；
（2）首先设OC=x，则OD=OF-DF=x-1，易求得OC的长，即可得∠BOC=120°，又由S=S_{四边形OBFC}-S_扇形OBC求得答案．
点评：此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．